21. Уравнения в частных производных

Уравнения в частных производных

Уравнения в частных производных - уравнения, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.

Область применения

Математические модели, построенные на основе уравнений в частных производных, позволяют описывать поля разнообразной физической природы. Это могут быть поля температур, плотностей, скоростей и концентраций частиц, гравитационные, электромагнитные, радиационные поля и др. С уравнениями в частных производных приходится иметь дело в различных областях науки и техники при формировании моделей гидро- и газодинамики, переноса излучения, квантовой механики,теплопередачи, физики плазмы и т. д.

Классификация уравнений второго порядка

Общий вид ДУЧП второго порядка

a₁₁u_xx + 2a₁₂u_xy + a₂₂u_yy + F(x, y, u, u_x, u_y) = 0 ,

где коэффициенты a₁₁ , a₁₂, a₂₂ в общем случае являются функциями x, y, u, u_x, u_y. В этом случае уравнение называется квазилинейным. Если данные коэффициенты зависят только от x, y , то уравнение рассматривается как линейное относительно старших производных. Наконец, уравнение называется линейным, если оно линейно как относительно старших производных, так и относительно функции и ее первых производных, т. е. уравнение может быть записано в виде

a₁₁u_xx + 2a₁₂u_xy + a₂₂u_yy + b₁u_x + b₂u_y + cu + f(x, y) = 0 ,

где все коэффициенты являются функциями только x, y . Если все коэффициенты не зависят от x, y , то уравнение будет линейным с постоянными коэффициентами.

В случае, если коэффициенты a₁₁ , a₁₂, a₂₂ равны нулю, а b₁ != 0 , b₂ != 0 , то уравнение имеет первый порядок и называется уравнением переноса.

В зависимости от знака дискриминанта d = a₁₂² - a₁₁ a₂₂ уравнения делятся на гиперболические (d > 0), параболические (d = 0) и эллиптические (d < 0).

Общие понятия о методах решения

Аналогично методам решения ОДУ для ДУЧП существуют точные, аналитические приближенные и численные методы. Точные решения уравнений в частных производных удается получить лишь в ограниченном ряде случаев, поэтому при реализации вычислительных моделей, построенных на таких уравнениях,особенно велика роль численных методов. К точным методам решения относятся метод разделения переменных, метод функций источника, метод распространяющихся волн и др. Среди аналитическихприближенных методов можно отметить метод малого параметра и метод Бубнова-Галеркина. К численным методам относятся метод конечных разностей (сеточный) и метод конечных элементов (проекционно-сеточный).