Metoda Taylora dla równań różniczkowych

Wstęp teoretyczny

Metoda Taylora pozwala nam na otrzymanie z dużą dokładnością przybliżonych wartości dla równania różniczkowego z zagadnieniem początkowym.

Jeżeli funkcja należy do klasy $C^{\infty}$ w otoczeniu punktu $x$, możemy ją przedstawić jako szereg Taylora: $$y(x+h) = y(x) + y'(x) \cdot h + \frac{y''(x)}{2!}\cdot h^2 + \frac{y'''(x)}{3!}\cdot h^3 + \dots$$

Który można również zapisać w postaci z resztą Lagrange'a: $$y(x+h) = y(x) + y'(x) \cdot h + \frac{y''(x)}{2!}\cdot h^2 + \dots + \frac{y^{(n)}(x+\theta h)}{n!}\cdot h^n\quad \text{gdzie } \theta \in(0,1)$$

Metodę pozwalającą na uzyskanie przybliżonej wartości funkcji w $x + h$, znając wartość $f(x)$ poprzez odrzucenie wszystkich pochodnych od $(n + 1)$ stopnia wzwyż nazywamy metodą Taylora n-tego rzędu.

Znając wartość dokładną lub przybliżoną rozwiązania w punkcie $x_0$ możemy obliczyć wartość w $x_0+h$, za jej pomocą $x_0+2h$, a za jej pomocą $x_0+3h$ itd. ad infinitum.

Na błąd lokalny metody $n$-tego rzędu składa się odrzucona reszta, która wynosi $$R_n=\frac{f^{(n + 1)}(x + \theta h)}{(n+1)!}\cdot h^{(n+1)}\quad \theta\in (0,1)$$ Błędy lokalne uzyskiwane przy każdym kroku kumulują się dając w efekcie błąd globalny.

Wymagania sprzętowe

System operacyjny

• Linux 5.7+
• MacOS
• Windows 10

Sprzęt

• RAM 4GB
• x86_64 CPU
• 100MB wolnej przestrzeni dyskowej

Opis programu

Program pozwala na wizualizację rozwiązań szczególnych równań różniczkowych na pewnym przedziale. Użytkownik ma możliwość wprowadzenia wartości dla zagadnienia początkowego oraz pożądanej docelowej wartości błędu $\varepsilon$, z zakresu od $0,01$ do $10,0$.

Na tej podstawie program wyświetla wykres przybliżonych wartości funkcji obliczonych przy pomocy metody Taylora oraz wykres dokładnych wartości uzyskanych z rozwiązania danego równania różniczkowego uzyskanego analitycznie.

Wykres jest uzyskiwany poprzez:

• założenie początkowej ilości przedziałów
• stworzenie dwóch wektorów wartości — wyprowadzonej analitycznie oraz przybliżonej
• liczona różnica między wartością dokładną a przybliżoną używając wzoru $$\varepsilon = \sqrt{\sum_i^n (x_i - \bar{x}_i)^2}$$
• jeśli różnica jest mniejsza od zadanej dokładności — oba wyniki są prezentowane na wykresie
• w przeciwny wypadku, proces jest powtarzany dla zdwojonej liczby przedziałów