__latexindent_temp.tex

\section{Week 4}

\definitie{$\lim\inf$ en $\lim\sup$}{
	Als $\{a_n\}$ niet convergeert:\\
	$M=\sup\{a_n|n\in\N\}\in\R\cup\{\infty\}$\\
	$m=inf\{a_n|n\in\N\}\in\R\cup\{-\infty\}$\\
	$M=+\infty \iff \{a_n\}$ niet naar boven begrensd\\	
	$m=-\infty \iff \{a_n\}$ niet naar beneden begrensd\\	

	$M_n=\sup\{a_k|k\geq n\}$\\
	$m_n=inf\{a_k|k\leq n\}$\\
	$M_1=M \wedge m_1=m$\\
	$\forall n:m_n\leq M_n$\\
	De rij $\{M_n\}$ is dalend ($M_1\leq M_2\leq...$)\\
	omdat $\{a_k|n+1\} \subseteq \{a_k|k\geq n\} \to$\\
	$\sup\{a_k|n+1\} \leq \sup\{a_k|k\leq n\}$\\
	Analoog: $\{m_n\}$ is stijgend\\
	$M_n \geq m \wedge m_n\leq M$\\

	De rij $\{M_n\}$ is dalend en naar beneden begrensd\\
	dus convergent: \\
	$\lim_{n\to\infty}M_n\equiv \lim\sup a_n = (\overline{\lim} a_n)$\\
	De rij $\{m_n\}$ is stijdend en naar boven begrensd\\
	dus convergent: \\
	$\lim_{n\to\infty}m_n\equiv \lim\inf a_n = (\underline{\lim} a_n)$\\
	$ \forall n: m_n \leq M_n \to$\\
	$ \forall n: \lim\inf a_n \leq \lim\sup a_n$\\
	Voor een begrensde rij bestaat $\lim\sup \wedge \lim\inf$\\
	\voorbeeld{
	$\forall n: a_n=(-1)^n \to M_n = 1 \wedge m_n = -1 \to \lim\sup a_n = 1 \wedge \lim\sup a_n = -1$
	}
}