Mohrs_circle.ipynb

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        "<div style=\"display: flex; align-items: center;\">\n",
        "    <img src=\"https://github.com/nagelt/Teaching_Scripts/raw/9d9e29ecca4b04eaf7397938eacbf116d37ddc93/Images/TUBAF_Logo_blau.png\" width=\"500\" height=\"auto\" height=\"auto\" style=\"margin-right: 100px;\" />\n",
        "    <div>\n",
        "        <p><strong>Prof. Dr. Thomas Nagel</strong></p>\n",
        "        <p>Chair of Soil Mechanics and Foundation Engineering<br>Geotechnical Institute<br>Technische Universität Bergakademie Freiberg.</p>\n",
        "        <p><a href=\"https://tu-freiberg.de/en/soilmechanics\">https://tu-freiberg.de/en/soilmechanics</a></p>\n",
        "    </div>\n",
        "</div>"
      ]
    },
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        "# Mohr'sche Spannungskreise"
      ]
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      "source": [
        "#HIDDEN\n",
        "import matplotlib.pyplot as plt\n",
        "import numpy as np\n",
        "from ipywidgets import widgets\n",
        "from ipywidgets import interact, interactive\n",
        "from matplotlib import patches\n",
        "\n",
        "#Some plot settings\n",
        "import plot_functions.plot_settings"
      ]
    },
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      "source": [
        "## Herleitung\n",
        "\n",
        "Startpunkt für die Herleitung sei gemäß folgender Abbildung ein Hauptspannungszustand.\n",
        "\n",
        "![Spannungsdreieck.png](https://raw.githubusercontent.com/nagelt/Teaching_Scripts/master/Images/Spannungsdreieck.png)\n",
        "\n",
        "\n",
        "Auf einem gedanklichen Schnit AA suchen wir den Spannungsvektor bestehend aus Normal- und  Schubspannung so, dass Kräftegleichgewicht herrscht:\n",
        "\n",
        "\\begin{align*}\n",
        "\t\\uparrow\\ &:\\ 0 = \\sigma_1\\, \\text{d} s\\, \\cos \\alpha\\, \\text{d} x_2 - \\sigma_\\text{n}\\, \\text{d} s\\, \\text{d} x_2\\, \\cos \\alpha - \\tau\\, \\text{d} s\\, \\text{d} x_2\\, \\sin \\alpha\n",
        "\t\\\n",
        "\t\\leftarrow\\ &:\\ 0 = \\sigma_3\\, \\text{d} s\\, \\sin \\alpha\\, \\text{d} x_2 - \\sigma_\\text{n}\\, \\text{d} s \\,  \\text{d} x_2\\, \\sin \\alpha + \\tau \\, \\text{d} s\\, \\text{d} x_2\\, \\cos \\alpha\n",
        "\\end{align*}\n",
        "\n",
        "Die infinitesimalen Längen $\\text{d}s$ und $\\text{d}x_2$ sind dabei strikt positiv (nicht Null). Umstellen liefert dann\n",
        "\n",
        "\\begin{align*}\n",
        "\t\\sigma_\\text{n} &= \\frac{\\sigma_1 + \\sigma_3}{2} + \\frac{\\sigma_1 - \\sigma_3}{2} \\cos 2\\alpha = \\sigma_\\text{M} + \\tau_\\text{max} \\cos 2 \\alpha\n",
        "\t\\\n",
        "\t\\tau &= \\frac{\\sigma_1 - \\sigma_3}{2} \\sin 2\\alpha = \\tau_\\text{max} \\sin 2 \\alpha ,\n",
        "\\end{align*}\n",
        "\n",
        "wobei die Mittelpunktsspannung $\\sigma_\\text{M}$ und die maximale Schubspannung $\\tau_\\text{max}$ eingeführt wurden.\n",
        "\n",
        "Quadrieren der umgestellten Gleichungen\n",
        "\\begin{align*}\n",
        "\t\\sigma_\\text{n} - \\sigma_\\text{M} &= \\tau_\\text{max} \\cos 2\\alpha\n",
        "\t\\\n",
        "\t\\tau &= \\tau_\\text{max} \\sin 2\\alpha\n",
        "\\end{align*}\n",
        "führt bereits auf trigonometrische Beziehungen, die einen Kreis nahelegen (bzw. ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Hypothenuse konstanter Länge).\n",
        "\n",
        "Das anschließende Addieren beider Gleichungen ergibt entsprechend auch die Kreisgleichung\n",
        "\\begin{align*}\n",
        "\t\\left( \\sigma_\\text{n} - \\sigma_\\text{M} \\right)^2 + \\tau^2 &= \\tau_\\text{max}^2 ,\n",
        "\\end{align*}\n",
        "die letztlich zu folgender Darstellung führt:\n",
        "\n",
        "\n",
        "![Spannungsdreieck.png](https://raw.githubusercontent.com/nagelt/Teaching_Scripts/master/Images/Spannungsdreieck_Spannungskreis.png)\n",
        "\n",
        "Man beachte, wie sich der Drehpunkt (Pol) im Spannungskreis als Schnittpunkt der Wirkungsebenen der Spannungszustände wiederfindet. Man beachte außerdem, dass durch den Schnittspannungsvektor die Wirkungsrichtung der Schubspannung $\\tau$ im Sinne der bodenmechanischen Vorzeichenkonvention konsistent festgelegt wurde.\n",
        "\n",
        "Der Winkel $\\alpha$ ist dabei die Neigung der Wirkungsebene von $(\\sigma_\\text{n},\\ \\tau)$, also der Schnittfläche AA. Der Winkel $\\kappa$ des Spannungsvektors gibt seine Neigung gegenüber dem Lot auf die Fläche AA an.\n",
        "\n",
        "Mit diesem Wissen können nun je nach gegebenen Größen schnell Spannungskreise konstruiert werden. Kennt man bspw. die Hauptspannungen $\\sigma_1$, $\\sigma_3$ und deren Orientierung 11 bzw. 33, kann der Pol als Schnittpunkt der durch die Spannungspunkte gezeichneten Wirkungsebenen bestimmt werden. Von diesem Pol aus lassen sich auch die Schnittebenen beliebiger anderer Spannungszustände ermitteln, bzw. es lassen sich umgekehrt die Spannungszustände in beliebig orientierten Schnitten (hier exemplarisch AA) ermitteln.\n",
        "\n",
        "![Spannungsdreieck.png](https://raw.githubusercontent.com/nagelt/Teaching_Scripts/master/Images/Spannungskreis_Pol.png)\n",
        "\n",
        "Umgekehrt kann auch die Orientierung der Hauptspannungen bei gegebenem Spannungszustand und -orientierung ermittelt werden. Beispiele dazu folgen weiter unten."
      ]
    },
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        "## Beispiele\n",
        "\n",
        "Wir schauen uns die Folgenden Beispiele an:\n",
        "\n",
        "* Einachsiger Druck: $\\sigma_1 > 0$, $\\sigma_2 = \\sigma_3 = 0$\n",
        "* Einachsiger Zug: $\\sigma_3 < 0$, $\\sigma_1 = \\sigma_2 = 0$\n",
        "* Einfacher Schub: $\\tau_{xy} \\neq 0$, also $\\sigma_1 > 0$, $\\sigma_2 = 0$, $\\sigma_3 = -\\sigma_1$\n",
        "* \"Triaxialer\" Druckversuch (unecht, da $\\sigma_2 = \\sigma_3$): $\\sigma_1 > 0$, $\\sigma_2 = \\sigma_3 > 0$"
      ]
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        "#HIDDEN\n",
        "%run plot_functions/Mohrs_circle_plots.ipynb"
      ]
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        "## Mobilisierte Reibung\n",
        "\n",
        "Gegeben seien die Vertikalspannung $\\sigma_\\text{v}$ und die Horizontalspannung $\\sigma_\\text{h}$, die gleichzeitig Hauptspannungen darstellen sollen. Der zugehörige Spannungskreis enthält alle Spannungszustände in beliebig orientierten Schnitten in der betrachteten h-v-Ebene. Zu einem Wertepaar $\\tau, \\sigma_\\text{n}$ gehört der mobilisierte Reibungswinkel\n",
        "\n",
        "$$\n",
        "    \\tan \\varphi_\\text{m} = \\frac{\\tau}{\\sigma_\\text{n}}\n",
        "$$\n",
        "\n",
        "Die zugehörige Gerade durch den Ursprung schneidet den Spannungskreis in den Punkten, in denen ebendieses Verhältnis von Schub- zu Normalspannungen herrscht. Die Verbindungslinien zu den Polen zeigen die zugehörigen Wirkungsebenen an.\n",
        "\n",
        "Man variiere nun Spannungszustand und mobilisierten Reibungswinkel, und identifiziere diejenigen Schnitte, in denen der mobilisierte Reibungswinkel maximal wird. Es zeigt sich, dass dies gerade die Tangentialebenen sind."
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        "## Dreidimensionale Spannungszustände, Hauptspannungen, Mohr-Coulomb'sches Bruchkriterium"
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        "## Effekt des Porenwasserdruckes -- Effektivspannungsprinzip\n",
        "\n",
        "Zu unterscheiden sind nun die durch totale und effektive Spannungen gegebenen Spannungskreise. Was geschieht bei Porenwasserüberdruck, was bei -unterdruck in Bezug auf die Nähe zu Bruchzuständen?\n",
        "\n",
        "$$\n",
        "    \\sigma_i = \\sigma_i' + u\n",
        "$$"
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        "## Ebene Betrachtungen\n",
        "\n",
        "Die folgenden Betrachtungen liegen in der $x$-$z$ Ebene und gelten für ebene Spannungszustände und ebene Verzerrungszustände mit $\\sigma_{yy} = \\sigma_2$.\n",
        "\n",
        "Zusätzlich wollen wir den ursprünglichen Spannungszustand mitsamt seiner Orientierung sowie den Bruchzustand in den Spannungskreis integrieren.\n",
        "\n",
        "Der Pol ist über den angegebenen Spannungszustand definiert. Damit sind alle angegebenen Ebenen in Bezug auf das $x-z$ Koordinatensystem zu verstehen. Der eingetragene grüne Zentriwinkel $2\\theta^*$ hingegen beschreibt die Orientierung der Bruchebenen gegenüber den Hauptspannungsrichtungen (nur eine gezeichnet).\n",
        "\n",
        "Auf der konjugierten Fläche (unterer Teilkreis) findet ein Vorzeichenwechsel der Schubspannung statt, da sich gegenüber dem bei der Herleitung angenommenen Vorzeichen der Schubspannung die Richtung des Pfeils qua Konvention umdreht (konjugierte Schubspannungen zur Erfüllung des Momentengleichgewichts am Bodenelement)."
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        "## Definition von Sicherheitsfaktoren, Festigkeitsreduktion\n",
        "\n",
        "Die Scherspannung auf einer Bruchfläche folgt der Relation\n",
        "\n",
        "$$\n",
        "    \\tau_\\text{f} = c + \\sigma_\\text{n} \\tan \\varphi\n",
        "$$\n",
        "\n",
        "Dazu gehören die Bruchspannungen $\\sigma^*, \\tau^*$ auf der Bruchfläche bzw. die Bruchhauptspannung $\\sigma_\\text{1f}$.\n",
        "\n",
        "Führt man einen Sicherheitsfaktor $F$ ein, so kann mit den reduzierten Scherfestigkeitsparametern $c_\\text{red}$ und $\\tan \\varphi_\\text{red}$ gerechnet werden:\n",
        "\n",
        "$$\n",
        "    \\tau_\\text{f,red} = \\frac{c}{F} + \\sigma_\\text{n} \\frac{\\tan \\varphi}{F} = c_\\text{red} + \\sigma_\\text{n} \\tan \\varphi_\\text{red}\n",
        "$$\n",
        "\n",
        "Durch die Veränderung von $\\varphi_\\text{red}$ ergibt sich auch eine veränderte Neigung der kritischen Bruchfläche. Dieses Vorgehen entspricht der unten dargestellten $\\varphi-c$ Reduktion bzw. dem Rechnen mit reduzierten Scherfestigkeitsparametern. Ergebnis sind die Bruchspannungen $\\sigma^*_\\text{r}, \\tau^*_\\text{r}$ auf der Bruchfläche bzw. die Bruchhauptspannung $\\sigma_\\text{1f,red}$.\n",
        "\n",
        "Wir stellen die zugehörigen Spannungsmaße zunächst für den Fall der im Triaxialversuch konstant gehaltenen Mantelspannung $\\sigma_3$ dar. Anschließend widmen wir uns dem Fall der konstanten Normalspannung auf der Bruchfläche, $\\sigma_\\text{n}$.\n",
        "\n",
        "### Darstellung bei $\\sigma_3 = \\text{const.}$\n",
        "\n",
        "Zusätzlich dargestellt ist die Überlegung, die auf der durch $\\varphi$ vorgegebenen kritischen Gleitfläche wirkende Bruchspannung mit einem Sicherheitsfaktor zu belegen, und diejenige Scherspannung zu identifizieren, die auf dieser Bruchfläche dem Sicherheitsfaktor entspricht. Wir skalieren also das durch $\\sigma^*, \\tau^*$ vorgegebene Dreieck unter Ähnlichkeit herunter, der reduzierte Spannungszustand folgt somit der Pollinie (Beibehaltung der Bruchflächenorientierung). Entsprechend ergibt sich die zur reduzierten Scherspannung\n",
        "\n",
        "$$\n",
        "    \\tau^*_\\text{plane} = \\frac{\\tau^*}{F}\n",
        "$$\n",
        "\n",
        "gehörige Normalspannung bzw. Hauptbruchspannung\n",
        "\n",
        "$$\n",
        "    \\sigma^*_\\text{plane} = \\sigma_3 + \\frac{\\sigma^* - \\sigma_3}{F} \\qquad \\sigma_\\text{1f,plane} = \\sigma_3 + \\frac{\\sigma_{1f} - \\sigma_3}{F}\n",
        "$$\n",
        "\n",
        "Die folgende Abbildung gibt einen Eindruck der Unterschiede beider Vorgehensweisen. Für geringe Sicherheitsfaktoren verschwinden die Unterschiede. Da die Reduktion der Festigkeitsparameter auch den Reibungswinkel reduziert, liegt dieses Vorgehen auf der sicheren Seite (liefert zu $F$ geringere zulässige Belastungen). Wir sehen auch, dass sich nicht nur die Schubspannung, sondern auch die Normalspannung auf der Bruchfläche ändert. Daher wollen wir im nächsten Beispiel den Fall $\\sigma_\\text{n} = \\text{const.}$ untersuchen."
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        "### Darstellung bei $\\sigma_\\text{n} = \\text{const.}$\n",
        "\n",
        "Die obigen Überlegungen können analog wiederholt werden, wenn die auf der Scherfläche wirkende (effektive) Normalspannung $\\sigma_\\text{n}$ konstant gehalten wird. Bildlich gesprochen bedeuted das in beiden Fällen ein \"vertikales Herunterskalieren\" des Spannungszustandes in der $\\tau-\\sigma_\\text{n}$ Darstellung, so dass sich derselbe Spannungszustand auf der Bruchebene ergibt. Die Spannungskreise und Bruchhauptspannungen ergeben sich dann aus den jeweiligen Hypothesen zur Lage dieser Bruchebene: Bruch unter Bezugnahme auf reduzierte Scherfestigkeitsparameter oder Bruch auf der durch die ursprünglichen Scherparameter vorgegebenen Bruchebene.\n",
        "\n",
        "$$\n",
        "    \\sigma_3 = \\sigma_\\text{n}^* - \\frac{\\tau^*}{F} \\tan \\left( \\frac{\\pi}{4} - \\frac{\\varphi_\\text{(red)}}{2} \\right)\n",
        "$$\n",
        "\n",
        "Im Falle der Beibehaltung einer durch $\\varphi$ vorgegebenen Bruchebene ist eine Interpretation mit einer reduzierten Bruchgeraden nicht sinnvoll, wie aus den Darstellungen ersichtlich wird. Man beachte die Verbindung zum Konzept der mobilisierten Reibung."
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        "    <img src=\"https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9f/Charles_de_Coulomb.png/800px-Charles_de_Coulomb.png\" width=\"500\"/>\n",
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