h10kansverdelingen.Rmd

# Kansverdelingen {#ch-kansverdelingen}

## Kansen {#sec:kansen}

Bellen achter het stuur vergroot de kans op een ongeluk [@Bhar13]. De
gemiddelde kans op neerslag in Nederland is 7%. Mijn bestelling heeft
10% kans om een dag later dan beloofd afgeleverd te worden. Kansen en
waarschijnlijkheden spelen een belangrijke rol in ons dagelijks leven,
en ook in het wetenschappelijk onderzoek. Immers, veel hypothesen zijn
probabilistisch van aard (zie Hoofdstuk \@ref(ch-onderzoek)): 
de hypothesen doen uitspraken over
een verschil in *kansen* van uitkomsten. Om conclusies te kunnen trekken
ten aanzien van die probabilistische hypothesen hebben we enige kennis
nodig over waarschijnlijkheden, kansberekening, en kansverdelingen.
Daarover gaat dit hoofdstuk.

Laten we ter inleiding eens kijken naar een Nederlands *Scrabble*-spel.
Het spel bevat een zakje met daarin 102 fiches, met op elke fiche een
letter[^fn10-1]. Van de 102 fiches zijn er 6 met de letter A. Als ik uit een
vol en goed gemengd zakje één fiche neem, wat is dan de kans dat ik de
letter A tref? Die kans-op-uitkomst-A wordt aangeduid als
$P(\textrm{A})$, met de $P$ van _Probabilitas_ (Lat. "kans,
waarschijnlijkheid"), en is te bepalen als
\begin{equation}
    P(\textrm{A})=
    \frac{\textrm{aantal A's}}{\textrm{totaal aantal fiches}}= 
    \frac{6}{102} = 0.0588
  (\#eq:kans-scrabble-1-A)
\end{equation}

De kans op een gebeurtenis wordt uitgedrukt als een proportie, een getal
tussen $0$ en $1$, of als een percentage, d.w.z. een proportie in
eenheden van $1/100$. Een kans kan dus nooit kleiner zijn dan $0$ en kan
nooit groter zijn dan 1: de kans is immers de verhouding tussen (teller)
aantal specifieke uitkomsten en (noemer) totaal aantal mogelijke
uitkomsten (zie
formule \@ref(eq:kans-scrabble-1-A)), waarbij deze teller nooit groter kan
zijn dan deze noemer [@SK01].

Als twee uitkomsten elkaar wederzijds uitsluiten, zoals bij de
uitkomsten A of B in ons Scrabble-voorbeeld, dan mogen we de kansen van
die uitkomsten *optellen* (somregel). De kans op uitkomst A *of*
uitkomst B (waarbij de uitkomsten A en B elkaar uitsluiten), is de *som*
van $P(\textrm{A})$ en $P(\textrm{B})$: 
\begin{equation}
    P(\textrm{A of B}) = P(\textrm{A}) + P(\textrm{B})
  (\#eq:kans-somregel)
\end{equation}

---

> *Voorbeeld 10.1:* 
In ons Scrabble-voorbeeld is $P(\textrm{A})=\frac{6}{102}$ en
$P(\textrm{B})=\frac{2}{102}$. De kans op uitkomst A-of-B is dan
$P(\textrm{A of B})=P(\textrm{A})+P(\textrm{B})=6/102+2/102=8/102=.0784$.

---

Als ik uit een vol en goed gemengd zakje één fiche neem, dan zijn er
twee complementaire uitkomsten mogelijk: ik tref een A, of ik tref
*niet* een A. De uitkomsten sluiten elkaar weer wederzijds uit, dus ook
de kansen op deze uitkomsten mogen we optellen. Bovendien zijn de
uitkomsten complementair, d.w.z. de uitkomst kan alleen maar één van
deze twee mogelijke uitkomsten zijn. De respectievelijke kansen op deze
complementaire gebeurtenissen zijn dan ook complementair, d.w.z. deze
respectievelijke kansen tellen op tot precies $1$ =100%
(complementregel). Er is immers 100% kans dat de uitkomst één van de
twee mogelijke uitkomsten van de trekking is. Als we $P(\textrm{A})$ al
kennen kunnen we de kans op de complementaire uitkomst makkelijk
uitrekenen: 
\begin{align}
    P(\textrm{A}) + P(\textrm{niet-A}) & = & 1\\
    P(\textrm{A}) & = & 1 - P(\textrm{niet-A})\\
    P(\textrm{niet-A}) & = & 1 - P(\textrm{A})
    (\#eq:complementregel)
\end{align}

---

> *Voorbeeld 10.2:* 
In ons Scrabble-voorbeeld is $P(\textrm{A})=\frac{6}{102}$. De kans op
uitkomst niet-A is dan
$P(\textrm{niet-A})= 1 - P(\textrm{A}) = 1 - \frac{6}{102} = \frac{96}{102} = .9412$.

---

Laten we als gedachten-experiment nu een tweede Scrabble-spel pakken, en
daaruit een tweede zakje met fiches pakken, eveneens vol en goed
gemengd. Uit elk zakje nemen we nu blind één letterfiche. Er zijn nu
twee gebeurtenissen of uitkomsten, nl. de uitkomst van de eerste
trekking (uit het eerste zakje), en de uitkomst van de tweede trekking
(uit het tweede zakje). Deze twee uitkomsten sluiten elkaar niet
wederzijds uit, want de twee uitkomsten hebben geen wederzijdse invloed
op elkaar. De uitkomst uit het tweede zakje wordt immers niet beïnvloed
door de uitkomst van het eerste zakje, of omgekeerd. We zeggen dan dat
deze uitkomsten *onafhankelijk* van elkaar zijn. Als de uitkomsten
inderdaad onafhankelijk van elkaar zijn, dan berekenen we de kans op een
combinatie van uitkomsten door de kansen te *vermenigvuldigen*
(productregel). De kans op de combinatie van uitkomst A *en* uitkomst B
(waarbij de uitkomsten A en B onafhankelijk van elkaar zijn), is het
*product* van $P(\textrm{A})$ en $P(\textrm{B})$:
\begin{equation}
    P(\textrm{A en B}) = P(\textrm{A}) \times P(\textrm{B})
  (\#eq:kans-productregel)
\end{equation}

---

> *Voorbeeld 10.3:* 
In ons Scrabble-voorbeeld is $P(\textrm{A})=\frac{6}{102}$ en
$P(\textrm{B})=\frac{2}{102}$. De kans op uitkomst A bij het eerste
zakje *en* B bij het tweede zakje is dan
$P(\textrm{A en B})=P(\textrm{A}) \times P(\textrm{B})=\frac{6}{102} \times \frac{2}{102} = .0012$.

---

> *Voorbeeld 10.4:* 
In ons Scrabble-voorbeeld is $P(\textrm{klinker})=\frac{38}{102}$. De kans
om een klinker (A, E, I, O, U, Y) te trekken uit het eerste zakje *en*
een klinker uit het tweede zakje is dan
$P(\textrm{klinker-en-klinker})=P(\textrm{eerste klinker}) \times P(\textrm{tweede klinker})=\frac{38}{102} \times \frac{38}{102} = (\frac{38}{102})^2 = .1388$.

---

## Binomiale kansverdeling {#sec:binomiaalverdeling}

Voor het vervolg van dit hoofdstuk brengen we twee wijzigingen aan in
het Scrabble-spel. Ten eerste verwijderen we de 2 blanco fiches zonder
letter uit het zakje. Er blijven dan precies 100 fiches over, waarvan 38
met een klinker (vocaal, $V$) en 62 met een medeklinker (consonant,
$C$). Er blijven dus slechts twee mogelijke categorieën van uitkomsten
over, die elkaar wederzijds uitsluiten. Zo'n variabele van het nominale
meetnivo, met precies twee categorieën, noemen we bi-nomiaal
('twee-namig'). We beschouwen de klinkers als treffers, en de
medeklinkers als missers. Deze twee mogelijke uitkomsten zijn
complementair: $P(V)=.38$ (afgekort als $p$) en $P(C)=.62$ (afgekort als
$q=1-p$).

Ten tweede leggen we het getrokken letterfiche voortaan terug in het
zakje, nadat we de getrokken letter genoteerd hebben. Op die manier
hebben we niet tientallen complete letterzakjes nodig, maar slechts één
letterzakje dat na elke teruglegging weer compleet en goed gemengd is.
We beschouwen de uitkomsten van opeenvolgende trekkingen als
onafhankelijk.

**Terzijde:** De uitkomst van een bepaalde trekking is dus onafhankelijk
van de uitkomst van vorige trekkingen. Als er zojuist $100\times$
achtereen een klinker getrokken is, dan heeft dat geen enkele invloed op
(de uitkomst van) de eerstvolgende trekking uit het letterzakje. Het
letterzakje, of de hand van de trekker, heeft immers geen geheugen. Bij
*elke* trekking is de kans op een treffer $p=.38$, ook als er zojuist
$100\times$ of $1000\times$ een klinker is getrokken. Hetzelfde geldt
voor de opeenvolgende uitkomsten bij roulette: bij elke ronde is de kans
op een treffer $1/37$, ook als het balletje zojuist $100\times$ op
eenzelfde getal terecht is gekomen[^fn10-2].

Laten we met bovengenoemde wijzigingen nu $n=3$ trekkingen uitvoeren
(met teruglegging, zie boven), en voor elke mogelijke uitkomst de kans
op die uitkomst bepalen, zie
Tabel \@ref(tab:klinkerkansen).

Table: (#tab:klinkerkansen) Kansen van mogelijke uitkomsten van $n=3$ trekkingen van klinkers,
  $p=.38$, met teruglegging (zie tekst).

  uitkomst    aantal klinkers       kans
  ---------- ----------------- --------------
  CCC                0          $qqq = q^3$
  VCC                1          $pqq = pq^2$
  CVC                1          $qpq = pq^2$
  CCV                1          $qqp = pq^2$
  VVC                2          $ppq = p^2q$
  VCV                2          $pqp = p^2q$
  CVV                2          $qpp = p^2q$
  VVV                3          $ppp = p^3$


Het aantal treffers (klinkers) in de $n=3$ trekkingen heeft de
*kansverdeling* zoals samengevat in
Tabel \@ref(tab:binomkansverdeling3) (eerste en laatste kolom) en
Figuur \@ref(fig:binomkansverdeling3) (horizontale en verticale as). 
In zo'n kansverdeling zien we voor elke mogelijke uitkomst van $x$ (hier:
aantal klinkers) hoe groot de kans op die uitkomst is.

Table: (#tab:binomkansverdeling3) Kansverdeling van een binomiale variabele met $n=3$ en $p=.38$.

  aantal klinkers          kans    kans
  ----------------- ----------- ----------
  0                     $1 q^3$  = .2383
  1                   $3 p q^2$  = .4383
  2                   $3 p^2 q$  = .2686
  3                     $1 p^3$  = .0549
  som                 $(p+q)^3$  = 1.0000

```{r binomkansverdeling3, echo=FALSE, fig.cap="Kansverdeling van een binomiale variabele x met n=3 en p=.38.", fig.width=4}
xx <- 0:4
plot( xx-0.5, dbinom(xx,size=3,prob=.38), 
    type="s", ylim=c(0,.7), xlab="x", ylab="P(x)", lwd=2, 
    main="binomiale kansverdeling\nn=3, p=.38", yaxs="i" )
polygon( x=c( -0.5, rep(xx,each=2)+rep( c(-0.5,+0.5), length(xx) ) ), 
         y=c( 0, rep(dbinom(xx,size=3,prob=.38),each=2) ), 
         col="grey85" )
segments( x0=xx-0.5, y0=0, y1=dbinom(xx,3,.38), lwd=2 ) # ontbrekend segmentje
```

De kansverdeling van een binomiale variabele noemen we de binomiale
kansverdeling, ook aangeduid als binomiale verdeling of
binomiaalverdeling. De exacte kansen van de binomiale kansverdeling kan
je uitrekenen met formule \@ref(eq:prob-binomial) hieronder.


### formules

De kans op een $x$ aantal treffers in $n$ trekkingen is gegeven als
\begin{equation}
  P(x\,\mbox{treffers}) = {n \choose x} p^x (1-p)^{n-x}
  (\#eq:prob-binomial)
\end{equation}
waarbij $n$ is het aantal trekkingen of pogingen, $x$ is het aantal treffers (tussen
0 en $n$), en $p$ is de kans op een treffer.

De coëfficient ${n \choose x}$ geeft het aantal verschillende ordeningen
aan waarin we een combinatie (greep) van $x$ elementen uit $n$ kunnen
kiezen. Bij $x=1$ klinker uit $n=3$ trekkingen zijn er drie
mogelijkheden: de ene klinker zou getrokken kunnen zijn in de eerste
trekking, of de tweede trekking, of de derde trekking, zie
Tabel \@ref(tab:klinkerkansen). Het aantal verschillende mogelijke
ordeningen is gegeven als 
\begin{equation}
  {n \choose x} = \frac{n!}{x!(n-x)!}
  (\#eq:choose)
\end{equation}
waarbij
$x! = x (x-1) (x-2) \dots \times 2 \times 1$, dus
$4!=4\times3\times2\times1=24$.

---

> *Voorbeeld 10.5:* Er staan 4 stoelen voor 2 personen. Op een stoel mag maximaal 1 persoon
plaatsnemen. Hoeveel verschillende ordeningen van $x=2$ personen over
$n=4$ stoelen zijn er mogelijk?

> Antwoord: Er zijn
${4 \choose 2} = \frac{4\times3\times2\times1}{2\times1\times2\times1} = \frac{24}{4} = 6$
mogelijke ordeningen, namelijk 1100, 1010, 1001, 0110, 0101, en 0011.

---

Deze binomiaal-coëfficienten, die het aantal verschillende mogelijke
ordeningen aangeven, zijn snel terug te vinden in de zogenaamde Driehoek
van Pascal, afgebeeld in Tabel \@ref(tab:driehoekpascal). 
Het aantal verschillende
ordeningen van $x=2$ personen over $n=4$ stoelen vinden we in rij $n=4$.
De bovenste rij is die voor $n=0$. De vijfde rij is die voor $n=4$ en we
zien daar achtereenvolgens de binomiaal-coëfficienten voor
$x= 0, 1, 2, 3, 4$. Voor ${4 \choose 2}$ vinden we daar de
binomiaalcoëfficient $6$. Iedere coefficiënt is de som van de twee
bovenliggende coëfficienten[^fn10-3], en iedere coëfficient is op te vatten
als het aantal mogelijke wegen afdalend van de top van de driehoek naar
die cel.

Table: (#tab:driehoekpascal) Driehoek van Pascal: binomiaalcoëfficienten voor het aantal mogelijke ordeningen voor een combinatie van $x$ elementen uit $n$ (zie tekst).

  --------- --- --- --- --- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- --- --- --- ---
  $n= 0$:                                   1                              
  $n= 1$:                              1         1                         
  $n= 2$:                         1         2         1                    
  $n= 3$:                    1         3         3         1               
  $n= 4$:                1        4         6         4         1          
  $n= 5$:            1       5         10        10        5        1      
  $n= 6$:        1       6        15        20        15        6       1  
  $n= 7$:    1       7       21        35        35        21       7       1
  --------- --- --- --- --- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- --- --- --- ---

Het gemiddelde en de standaarddeviatie van de binomiale kansverdeling
zijn $$\begin{aligned}
    \mu & = & np \\
    \sigma & = & \sqrt{ np(1-p) }\end{aligned}$$

---

> *Voorbeeld 10.6:*
De binomiale kansverdeling voor $x$ treffers uit $n=3$ trekkingen met
$p=.38$ kans op een treffer is afgebeeld in
Figuur \@ref(fig:binomkansverdeling3). Deze binomiale kansverdeling heeft
een gemiddelde $\mu=n \times p = 3 \times .38 = 1.14$, en een
standaarddeviatie
$\sigma = \sqrt{n \times p \times (1-p)} = \sqrt{ 3 \times .38 \times .62} = 0.84$
.

---

### JASP

De binomiale kansverdeling van Figuur \@ref(fig:binomkansverdeling3) kan in JASP worden verkregen door in de bovenbalk te klikken op:
```
Distributions > Binomial (onder 'Discrete')
```
Als `Distributions` nog niet in de bovenbalk staat kun je dit toevoegen door rechtsbovenin op de blauwe **+**-button te klikken en `Distributions` aan te vinken.\ 
In de "Binomial" invoer is de balk `Show Distribution` als het goed is open. Pas hier de waarden voor $p$ (onder "free parameter") en $n$ (onder "Fixed parameter") aan naar $p=0.38$ en $n=3$. Pas onder "Options" ook de range aan naar `Range of x from 0 to 3`. Onder "Display" moet `Probability mass function` aangevinkt zijn. In de uitvoer zie je onder *Probability Mass Plot* de binomiale kansverdeling. 

### R

```{r binomkansverdeling3.dbinom}
dbinom( 0:3, size=3, prob=.38 )
```

De uitvoer is weergegeven in Tabel \@ref(tab:binomkansverdeling3) hierboven. 

```{r driehoekpascal}
matrixcalc::pascal.matrix( 10 ) # links onder diagonaal is Driehoek van Pascal
```

De driehoek van Pascal is te vinden links onder de diagonaal van deze matrix.


## Normale kansverdeling {#sec:normaalverdeling}

Naarmate de steekproefgrootte $n$ toeneemt, gaat de binomiale
kansverdeling minder trapsgewijs verspringen, en wordt de kansverdeling
meer vloeiend, zoals te zien in
Figuur \@ref(fig:binomkansverdeling50n500).

```{r binomkansverdeling50n500, echo=FALSE, fig.cap="Kansverdeling van een binomiale variabele x met n=50 (links) en n=500 (rechts) en p=.38."}
op <- par(mfcol=c(1,2))
plotbinom <- function( x, n=100, pr=.38, xlab="", ylab="", ymax=.5, ... ) {
  plot( xx-0.5, dbinom(x,size=n,prob=pr), 
    type="s", ylim=c(0,ymax), xlab=xlab, ylab=ylab, lwd=2, 
    main=paste("n=",n,", p=",pr,sep=""), yaxs="i" )
  segments( x0=x[1]-0.5, y0=0, y1=dbinom(x[1],n,pr), lwd=2 ) # ontbrekend segmentje
}
# links
xx <- 0:50
plotbinom(xx, n=50, pr=.38, ymax=.12)
# rechts
xx <- 0:500
plotbinom(xx, n=500, ymax=.04)
par(op)
```

Bij een nog grotere steekproef wordt de kansverdeling een vloeiende lijn. 
Deze kansverdeling komt zo vaak voor, dat dit de *normale kansverdeling*
of 'normale verdeling' wordt genoemd. De verdeling wordt ook wel
aangeduid als de Gaussische verdeling (vernoemd naar de wiskundige Carl
Friedrich Gauss, 1777--1855), of de 'bell curve' (naar de vorm). Heel
veel variabelen volgen bij benadering deze kansverdeling:
geboortegewicht, lichaamslengte, omvang van woordenschat, IQ, inhoud van
een pak melk van 1 liter ℮, duur van een telefoongesprek, enz enz. Voor
al deze variabelen hebben observaties dicht bij het gemiddelde een hoge
kans om voor te komen, en observaties die sterk afwijken van het
gemiddelde zijn relatief zeldzaam (lage kans).

```{r normaalkansverdeling, echo=FALSE, fig.cap="Normale kansverdeling van een variabele x met gemiddelde 0 en standaarddeviatie 1."}
curve( dnorm(x,mean=0,sd=1), from=-5, to=+5, lwd=4,
       xlab="x", ylab="P(x)", yaxs="i", xlim=c(-3.5,+3.5), ylim=c(0,0.45)  )
xx <- seq(-2,+2,by=.01)
polygon( x=c( -2, xx, 2 ), 
         y=c(  0, dnorm(xx,mean=0,sd=1), 0 ), 
         col="grey85" )
xx <- seq(-1,+1,by=.01)
polygon( x=c( -1, xx, 1 ), 
         y=c(  0, dnorm(xx,mean=0,sd=1), 0 ), 
         col="grey70" )
curve( dnorm(x,mean=0,sd=1), from=-5, to=+5, lwd=4,
       xlab="x", ylab="P(x)", yaxs="i", xlim=c(-3.5,+3.5), ylim=c(0,0.45),  add=TRUE  )
```

De normale kansverdeling van variabele $X$ met gemiddelde $\mu$ en
standaarddeviatie $\sigma$ heeft de volgende kenmerken (zie
Figuur \@ref(fig:normaalkansverdeling)):

-   de verdeling is symmetrisch rond het gemiddelde $\mu$,

-   de verdeling is asymptotisch, d.w.z. de staarten lopen eindeloos
    door,

-   het gemiddelde, de mediaan en de modus vallen samen,

-   de totale oppervlakte onder de curve, d.i. de totale kans op één van
    de mogelijke uitkomsten, is gelijk aan 1,
    
-   de oppervlakte onder de curve geeft de kans aan op een waarde van $X$ binnen een bepaald interval,  

-   de buigpunten van de curve (van hol naar bol en v.v.) liggen bij
    $X=\mu-\sigma$ en $X=\mu+\sigma$,

-   ongeveer 2/3 van de observaties ligt
    tussen $X=\mu-\sigma$ en $X=\mu+\sigma$ (donkergrijs gebied;
    $P(-1<x/\sigma<1)=.6827$ of 68%) en ongeveer 95% van de observaties ligt
    tussen $-2\sigma$ en $+2\sigma$ (donkergrijs plus lichtgrijze
    gebieden; $P(-2<x/\sigma<2)=.9546$), dit staat bekend als de
    Empirical Rule.

Een normale kansverdeling met $\mu=0$ en $\sigma=1$ wordt aangeduid als
de standaard-normale kansverdeling. Zoals we al eerder zagen 
(§\@ref(sec:standaardscores)) kunnen we een normaal-verdeelde
variabele $x$ standaardiseren, d.w.z. de observaties transformeren naar
een standaardscore of $z$-score: $z = (x-\overline{x})/s$. 
De kansverdeling in
Figuur \@ref(fig:normaalkansverdeling) is die van de standaard-normale
kansverdeling van $Z$, oftewel de kansverdeling van $(X-\mu)/\sigma$.

De kansverdeling van een normaal verdeelde variabele $X$ zou je zelf
kunnen uitrekenen met behulp van formule
\@ref(eq:prob-normal) hieronder. Maar het is handiger om daarvoor
een tabel te gebruiken; die staat in
Bijlage \@ref(app-kritiekeZwaarden). 
In grafische vorm uitgelegd geven die tabellen je,
voor verschillende oppervlakten ofwel kansen $p$ aan de rechter zijde onder de curve, 
de positieve waarde van $Z^*$ die de linkergrens vormt
van die oppervlakte. Dat betekent dus dat je precies de kans $p$ hebt om
een waarde te vinden van $Z$ die even groot als of groter dan deze
ondergrens $Z^*$ is (mits de variabele inderdaad normaal verdeeld is).

---

> Voorbeeld  10.7: Aan de rechterzijde van Figuur \@ref(fig:normaalkansverdeling) zien we een klein wit oppervlak onder de curve. Dit oppervlak geeft de kans weer dat $Z>2$. Het oppervlak heeft een omvang van `r format( pnorm(2,lower=FALSE), digits=3)`. De kans om een waarde van $Z>2$ te vinden is dus `r format( pnorm(2,lower=FALSE), digits=3)` ofwel iets minder dan 2.5%. (Tip: relateer deze kans aan de bovengenoemde Empirical Rule).

---

In Bijlage \@ref(app-kritiekeZwaarden) vind je gemakshalve niet een maar twee
tabellen, elk bestaande uit meerdere kolom-aanduidingen en één rij van
cellen. De eerste tabel geeft je, voor verschillende 'afgeronde' kansen
$p$ (kolommen), de kritieke waarde $Z^*$ (cellen) waarvoor geldt dat de
kans $p$ om een waarde van $Z$ te vinden die even groot als of groter
dan deze kritieke waarde $Z^*$ is, precies gelijk is aan de waarde $p$
bovenaan de kolom. De tweede tabel werkt net zo, maar dan voor
'afgeronde' waarden van $Z^*$ in de cellen, en precieze kansen $p$ in de
kolom-aanduidingen.

Wat is de kans $p$ dat $Z>1$? In de tweede deeltabel, tweede kolom,
vinden we $p=0.1587$. We weten daarmee ook dat $P(Z<1)$ wel
$1-0.1587=0.8413$ moet zijn. Bovendien weten we dat de verdeling
symmetrisch is (zie hierboven), dus weten we dat $P(Z< -1)$ ook $.1587$
moet zijn. Wat is de kans $p$ dat $Z>3$ is? In de tweede deeltabel 
vinden we voor grenswaarde $Z^*=3$ de overschrijdingskans
$p=0.0013$. Voor een normaal verdeelde variabele $Z$ is er dus een
overschrijdingskans $p=0.0013$ (meestal gerapporteerd als $p=.001$) om een waarde van $Z$ te vinden die
tenminste drie standaarddeviaties boven het gemiddelde ligt.

Vaak willen we het omgekeerde weten: als we een bepaalde
overschrijdingskans kiezen, welke grenswaarde $Z^*$ hoort daar dan bij?
Welke grenswaarde onderscheidt de hoogste 5% van de observaties van de
onderste 95% ($p=0.05$)? In de eerste deeltabel vinden we
voor overschrijdingskans $p=0.05$ de grenswaarde $Z^*=1.645$. Deze
grenswaarde, teruggerekend naar de oorspronkelijke variabele, wordt dan
vaak aangeduid als het 95e percentiel of 'P95' van de verdeling. Wie
tenminste deze score heeft behaald, behoort bij de beste 5% en heeft het dus 
beter gedaan dan 95% van de deelnemers.

---

> *Voorbeeld 10.8:* 
Extreme waarden komen bij een normaal-verdeelde variabele per definitie
weinig voor. Maar wat is de grens voor een extreme waarde? Laten we
aannemen dat we niet meer dan 5% van alle observaties als extreem willen
beschouwen. De normale kansverdeling is symmetrisch, dus van die 5% is
te verwachten dat de ene helft (2.5%) ligt aan het linker uiteinde van
de verdeling, en de andere 2.5% aan de rechterzijde. Welke grenswaarde
$Z^*$ correspondeert met deze overschrijdingskans $p=0.025$?

> In Bijlage \@ref(app- kritiekeZwaarden) nemen we de eerste deeltabel. In de kolom 
voor overschrijdingskans $p=0.025$, vinden we grenswaarde
$Z^*=1.960$. Als we een observatie vinden met $Z \ge 1.960$ of met
$Z \le -1.960$ dan beschouwen we dat als een extreme, zeldzame
observatie.

---

> *Voorbeeld 10.9:* 
Intelligentie wordt uitgedrukt als een IQ-score, een variabele met een
normale kansverdeling met $\mu=100$ en $\sigma=15$. "Membership of Mensa
is open to persons who have attained a score within the upper two
percent of the general population on an approved intelligence test that
has been properly administered and supervised"
([www.mensa.org](www.mensa.org)). Welke IQ-score moet je tenminste
behalen om lid te kunnen worden?

> Antwoord: Het 98e percentiel van een standaard-normaal verdeelde
variabele ligt bij $Z^*=+2.0537$, en dus met
$x=\overline{x}+2.0537 s = 100+30.8 = 130.8$. Naar boven afgerond moet
je dus een IQ-score behalen van 131 punten of hoger.

---

> *Voorbeeld 10.10:* 
Verifieer de bovengenoemde Empirical Rule met behulp van
Bijlage \@ref(app-kritiekeZwaarden).

---

<!-- 
De tweede tabel in Bijlage \@ref{app-kritiekeZwaarden} geeft je ook, 
voor verschillende positieve waarden van die
ondergrens $Z^*$, de precieze kans $p$ om een waarde te vinden van $Z$
die even groot als of groter dan deze ondergrens $Z^*$ is. Die precieze
kans $p$ noemen we de *overschrijdingskans* behorend bij die waarde van
$Z$ volgens de kansverdeling.
-->

### formules

Als variabele $X$ een normale kansverdeling heeft, met gemiddelde $\mu$
en standaarddeviatie $\sigma$, dan wordt dat aangegeven als
\begin{equation}
  X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma)
  (\#eq:normaalverdeeld)
\end{equation}

De normale kansverdeling van variabele $X$ met gemiddelde $\mu$ en
standaarddeviatie $\sigma$ is 
\begin{equation}
  P(X) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \mbox{e}^{ \frac{-(X-\mu)^2}{2\sigma^2} }.
  (\#eq:prob-normal)
\end{equation}

De standaard-normale kansverdeling van variabele $Z$ met gemiddelde
$\mu=0$ en standaarddeviatie $\sigma=1$ is
\begin{equation}
    P(Z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mbox{e}^{ \frac{-Z^2}{2} }
  (\#eq:prob-standaardnormaal)
\end{equation}

### JASP

De normale kansverdeling van Figuur \@ref(fig:normaalkansverdeling) kan in JASP worden verkregen door in de bovenbalk te klikken op:
```
Distributions > Normal (onder 'Continuous')
```
Als `Distributions` nog niet in de bovenbalk staat kun je dit toevoegen door rechtsbovenin op de blauwe **+**-button te klikken en `Distributions` aan te vinken.\
In de "Normal" invoer is de balk `Show Distribution` als het goed is open. Automatisch staan de waarden voor de standaard-normale kansverdeling al ingevuld en `Probability density function` aangevinkt; je ziet deze verdeling dus meteen in de uitvoer onder *Density Plot*.\
Voor andere normale kansverdelingen kunnen de waarden voor $\mu$ en $\sigma$ worden aangepast, en ook de range die wordt weergegeven (onder "Options"). Let op dat je bij "Parameters" `$\mu$, $\sigma$` selecteert als je het gemiddelde en de standaarddeviatie ingeeft (voor de standaard-normale kansverdeling maakt dit niet uit, want bij $\sigma=1$ geldt ook $\sigma^2=1$). 

### R

De normale kansverdeling van Figuur \@ref(fig:normaalkansverdeling) kan in R worden afgebeeld 
met het onderstaande commando. Hierin wordt een `curve` getekend, met `x` in het aangegeven domein, en waarbij `y` het resultaat is van de functie die de normale kansverdeling berekent volgens formule \@ref(eq:prob-normal):
```{r normkansverdeling.dnorm}
curve( dnorm( x, mean=0, sd=1 ), # functie die y-waarden geeft, normal density
       from=-5, to=+5, # domein van x
       lwd=4, # line width is 4x normaal
       xlab="x", ylab="P(x)" # labels langs x-as en y-as
       )
```

Als je een extra argument `curve( ..., add=TRUE )` opgeeft, dan wordt de curve toegevoegd aan de meest recente plot (zie bijv. Figuur \@ref(fig:itunesmeanshist) hieronder).  

## Heeft mijn variabele een normale kansverdeling? {#sec:isvarnormaalverdeeld}

```{r itunestimeshist-prep, echo=FALSE}
itunes <- read.table( file="data/itunestimes20120511.txt", header=TRUE )
# Size in bytes, Time in ms
# longest <- max(itunes$Time/60000) ## set upper limit at 50 minutes, remove few extreme outliers
longest <- 50 - 0.1
themax <- ceiling( longest )
ok <- (itunes$Time/60000 < themax)
yy <- itunes$Time[ok]/60000
```

Het langste nummer in mijn digitale muziekbibliotheek duurt ongeveer `r round(longest)`
minuten (dat is een klassiek-indiaas muziekstuk, een 'morning raga').
Een histogram van de duren van alle muzieknummers zie je in
Figuur \@ref(fig:itunestimeshist). 

```{r itunestimeshist, echo=FALSE, fig.cap="Histogram van de duren van muzieknummers in mijn digitale muziekbibliotheek."}
hist( yy, xlab="Duur (minuten)", ylab="Aantal", main="", 
      breaks=themax, col=grey(.85) )
text( themax*2/3, 400, paste("N=",nrow(itunes),sep="") )
```
Dit histogram laat zien dat deze duren
duidelijk *niet* een normale kansverdeling volgen: de verdeling is niet
symmetrisch, en de onderste staart loopt niet eindeloos door (er zijn
geen muzieknummers met negatieve duren).

Ook het gemiddelde $\bar{x} =$ `r round(mean(itunes$Time/60000),digits=3)` en
standaarddeviatie $s =$ `r round(sd(itunes$Time/60000),digits=3)` 
wijzen op een niet-normale kansverdeling: 
bij een normale verdeling verwachten we dat slechts $(68/2)+50=84$% van de duren langer duurt dan
$\bar{x}-s\approx 0$ minuten, maar in werkelijkheid duurt 100%
(dus een groter deel dan verwacht) langer dan 0 minuten.

Een veel gebruikte manier om te inspecteren of een variabele $X$ een
normale kansverdeling heeft, is om een grafiek te maken met de
geobserveerde waarden langs de ene as (hier de horizontale), en de corresponderende $z$-scores
langs de andere as. Zo'n figuur wordt een quantile-quantile-plot of
QQ-plot genoemd; de QQ-plot voor de duren in mijn muziekbibliotheek zie
je in Figuur \@ref(fig:itunestimesqqplot).

```{r itunestimesqqplot, echo=FALSE, fig.cap="Quantile-quantile-plot van de duren van muzieknummers in mijn digitale muziekbibliotheek."}
qqnorm( yy, datax=TRUE )
qqline( yy, col="purple", lwd=2, datax=TRUE )
```

Als de duren een normale kansverdeling zouden hebben (normaal zouden
zijn verdeeld), dan zouden er een aantal negatieve duren moeten zijn, en
er zouden dan veel meer duren tussen 8 en 14 minuten moeten zijn (i.p.v.
tussen 8 en `r themax` minuten). De afwijkingen van de rechte lijn in
Figuur \@ref(fig:itunestimesqqplot) geven dus aan dat de geobserveerde
duren niet een normale kansverdeling volgen, zoals we al zagen in het
histogram (Figuur \@ref(fig:itunestimeshist)).

Er zijn ook verschillende statistische toetsen om te onderzoeken of een
variabele een normale kansverdeling heeft. De twee meest gebruikte zijn
de Shapiro-Wilk-toets (met toetsingsgrootheid $W$) voor normaliteit, en
de Kolmogorov-Smirnov-toets (met toetsingsgrootheid $D$) voor
normaliteit. Beide toetsen onderzoeken de
H0:$X\sim\mathcal{N}(\bar{X},s)$ (zie
formule \@ref(eq:normaalverdeeld)).

### SPSS

```
Analyze > Descriptive Statistics > Explore...
```

Selecteer variabele Time (sleep naar Dependent List paneel).\
Kies knop `Plots`, en vink aan `Normality plots with tests`, dat
betekent 'als je een QQ-plot oftewel Normality plot maakt, voer dan ook toetsen
op normaliteit uit'. Bevestig met `Continue` en daarna met `OK`. De
uitvoer bevat eerst de resultaten van de Shapiro-Wilks-toets en de
Kolmogorov-Smirnov toets. Volgens beide toetsen is de kans om deze
verdeling te vinden, als H0 waar is, bijna nul --- zie echter de
waarschuwing in
§\@ref(sec:pgroterdannul)! We verwerpen daarom H0 en concluderen
dat de duren van muzieknummers niet normaal verdeeld zijn. Na deze
toetsresultaten volgt o.a. een QQ-plot.

### JASP

Klik in de bovenbalk op `Descriptives` en selecteer variabele Time in het veld "Variables". Klik de balk `Plots` open en vink `Distribution plots` aan onder "Basic plots" voor een histogram. Vink ook `Q-Q plots` aan voor een quantile-quantile plot. Klik vervolgens de balk `Statistics` open en vink `Shapiro-Wilk test` aan onder "Distribution".\
De uitvoer geeft de uitkomst van de Shapiro-Wilk-toets in de tabel *Descriptive Statistics*. We zien dat de kans om deze verdeling te vinden, als H0 waar is, bijna nul is. H0 wordt dus verworpen en we concluderen dat de duren van de muzieknummers niet normaal verdeeld zijn. Dit kun je ook terugzien in het histogram en de Q-Q plot. 

### R

```{r}
itunes <- read.table( file="data/itunestimes20120511.txt", header=TRUE )
# Size in bytes, Time in ms
qqnorm(itunes$Time/60000, datax=T, plot.it=FALSE) # normally we'd use plot.it=TRUE  
# qqline(itunes$Time/60000, datax=T, col="purple", lwd=T) # see QQ-plot above
```

```{r}
shapiro.test(itunes$Time/60000)
```

Volgens deze toets is de kans om deze verdeling te vinden, als H0 waar
is, bijna nul, nl. kleiner dan $2.2 \times 10^{-16}$ (d.i. kleiner dan
het kleinste getal dat het analysepakket hier kan weergeven). We
verwerpen daarom H0 en concluderen dat de duren van muzieknummers niet
normaal verdeeld zijn.

## Wat als mijn variabele niet normaal verdeeld is? {#sec:watalsnietnormaal}

In Deel III zullen we diverse statistische
toetsen bespreken. De toetsen die we bespreken in hoofdstukken
\@ref(ch-toetsing) en \@ref(ch-power) en \@ref(ch-variantieanalyse)
vereisen echter dat de afhankelijke
variabele een normale kansverdeling heeft. Als een variabele *niet* een
(ongeveer) normale kansverdeling heeft, dan kan die variabele dus niet
zomaar gebruikt worden voor statistische toetsing met de daar behandelde
statistische toetsen, of exacter gezegd, de conclusies uit zo'n
statistische toetsing zijn dan niet valide. Wat te doen? Er zijn dan
twee mogelijkheden.

Ten eerste is het mogelijk om de afhankelijke variabele $y$ te
transformeren, d.w.z. dat we er een rekenkundige bewerking op loslaten.
Als het goed is, resulteert dat in een variabele $y'$ die wèl bij
benadering normaal verdeeld is. Veel gebruikte transformaties zijn:
logaritmiseren ($y'=\log{y}$), worteltrekken ($y'=\sqrt{y}$), of
inverteren ($y'=1/y$). Vervolgens wordt de getransformeerde
afhankelijke variabele $y'$ gebruikt voor de statistische toetsing.
Uiteraard moet je wel controleren of de nieuwe afhankelijke variabele
$y'$ inderdaad (bij benadering) normaal verdeeld is. Ook moet je bij de
interpretatie van de resultaten van de analyse rekening houden met de
uitgevoerde transformatie!

Ten tweede is het soms mogelijk om een andere statistische toets te
gebruiken, die niet vereist dat de afhankelijke variabele normaal
verdeeld is. Dat worden non-parametrische toetsen genoemd. We gaan er
nader op in in de hoofdstukken \@ref(ch-chi-kwadraat-toetsen) en
\@ref(ch-andere-nonpar-toetsen). 
Die toetsen hebben wel als nadeel
dat ze minder statistische power hebben (voor een bespreking van power,
zie hoofdstuk \@ref(ch-power)): ze zijn minder gevoelig, en vereisen dus grotere
steekproeven om een effect vast te stellen.

## Kansverdeling van gemiddelde {#sec:CentraalLimietTheorema}

```{r echo=FALSE}
set.seed(202009)
nn  <- 50
aux <- sample( x=length(yy), size=50 )
```
In deze paragraaf beschouwen we de muzieknummers in mijn digitale
muziekbibliotheek als een *populatie*. We nemen nu een willekeurige
steekproef van $n=$ `r nn` nummers, en bepalen de gemiddelde duur over deze
`r nn` muzieknummers in de steekproef: 
stel $\bar{x} =$ `r round(mean(yy[aux]),digits=3)` minuten. Opvallend
genoeg ligt dit gemiddelde van de steekproef dicht bij het gemiddelde
van de populatie ($\mu =$ `r round(mean(yy),digits=3)` minuten, zie hierboven). 
Deze operatie herhalen we
$250\times$: we krijgen zo 250 steekproefgemiddelden. De
frequentieverdeling van die 250 steekproefgemiddelden zie je in
Figuur \@ref(fig:itunesmeanshist).

```{r itunesmeanshist, echo=FALSE, fig.cap="Frequentieverdeling van 250 gemiddelden, elk over een willekeurige steekproef van $n=50$ muzieknummers (de afhankelijke variabele is de duur van een muzieknummer, in minuten). De bijpassende normaalverdeling is aangegeven als een vloeiende curve."}
set.seed(2020)
nn <- 50
itunesmeans <- rep(NA,nn)
for (i in 1:250) {
  steekproef <- sample( x=length(yy), size=nn )
  itunesmeans[i] <- mean( yy[steekproef] )
}
hist( itunesmeans, col=gray(.70), breaks=16, # ceiling(sqrt(250))
      xlab=paste("Gemiddelde duur van \n",nn," muzieknummers in steekproef", sep=""),
      ylab="Aantal steekproeven", 
      main="" )
legend("topright", legend="n=50", bty="n") # no box
curve( dnorm(x,mean=mean(itunesmeans),sd=sd(itunesmeans))*nn, col="purple", lwd=2, add=TRUE )
```

Opvallend genoeg vertonen deze *gemiddelden* van (de afhankelijke
variabele $X$ in) de steekproeven *wel* een min of meer normale kansverdeling, of de
variabele $X$ in de populatie nu wel of niet normaal verdeeld is. Anders
gezegd, de kansverdeling van een steekproefgemiddelde benadert *altijd* de
normale kansverdeling, ongeacht de kansverdeling van de betreffende
variabele in de populatie, indien tenminste de steekproef voldoende
groot was. (Dit staat bekend als het Centraal Limiet Theorema). Lees de
bovenstaande zinnen nog eens aandachtig door. Als vuistregel geldt dat
de omvang van de steekproef, $n$, tenminste 30 moet zijn. Naarmate de
steekproef groter is, wijkt de kansverdeling van de
steekproefgemiddelden minder af van de normaalverdeling.

De normale kansverdeling van de steekproefgemiddelden heeft een eigen
gemiddelde, $\mu_{\bar{X}}$, en een eigen standaarddeviatie,
$s_{\bar{X}}$. Hiervoor geldt: 
\begin{equation}
    \mu_{\bar{X}} = \mu_X
    (\#eq:meanofmean)
\end{equation}
en 
\begin{equation}
    s_{\bar{X}} = \frac{s}{\sqrt{n}}
    (\#eq:sem)
\end{equation}
De standaarddeviatie van het
gemiddelde, $s_{\bar{X}}$, staat ook bekend als de 'standard error of
the mean'. De steekproefgemiddelden $\bar{X}$ hebben minder spreiding
dan de afzonderlijke observaties $X$, en de gemiddelden variëren ook
minder naarmate er gemiddeld is over een grotere steekproef, zoals ook
blijkt uit formule \@ref(eq:sem). Je kunt deze standard error of the mean goed
beschouwen als de 'foutmarge' bij de schatting van het
populatiegemiddelde uit het steekproefgemiddelde.

Het bijzondere is nu, dat we niet 250 herhaalde willekeurige
steekproeven hoeven te trekken en te analyseren. We weten immers dat de
steekproefgemiddelden een normale kansverdeling hebben met
$\mu_{\bar{X}} = \mu_X$ en $s_{\bar{X}} = \frac{s}{\sqrt{n}}$. De
kansverdeling van het gemiddelde kunnen we dus afleiden uit slechts één
steekproef van $n$ observaties, met één steekproefgemiddelde $\bar{X}$
en één standaarddeviatie $s$ [@Cumm12]. Lees ook deze alinea nog eens
aandachtig door.


## Betrouwbaarheidsinterval van het gemiddelde {#sec:betrouwbaarheidsinterval-gemiddelde}

Zoals hierboven uitgelegd, kunnen we het gemiddelde van de steekproef,
$\bar{X}$, gebruiken als een goede schatting van het onbekende
gemiddelde in de populatie, $\mu$. Op grond van het Centraal Limiet
Theorema (§\@ref(sec:CentraalLimietTheorema)) weten we ook dat de gemiddelden
van herhaalde steekproeven (van $n$ observaties) een normale verdeling
volgen: $\mu_{\bar{X}} \sim \mathcal{N}(\mu_{X},\sigma/\sqrt{n})$, en
dus dat 95% van deze herhaalde steekproefgemiddelden zullen liggen
tussen $\mu_{X}-1.96\sigma/\sqrt{n}$ en $\mu_{X}+1.96\sigma/\sqrt{n}$.
Dit interval wordt het 95%-betrouwbaarheidsinterval genoemd. We weten
met 95% betrouwbaarheid dat het populatiegemiddelde $\mu$ in dit
interval ligt --- mits $n$ voldoende groot is, en mits de
standaarddeviatie, $\sigma$, in de populatie bekend is.

Aan die laatste voorwaarde wordt in de praktijk echter zelden of nooit
voldaan. De standaarddeviatie in de populatie is doorgaans niet bekend,
en deze $\sigma$ wordt daarom ook geschat uit de steekproef. We
gebruiken de steekproef van $n$ observaties dus niet alleen om $\mu_X$
te schatten, maar ook om $\sigma_X$ te schatten. We mogen dan het
betrouwbaarheidsinterval niet meer bepalen op grond van de
standaard-normale kansverdeling. In plaats daarvan gebruiken we een
aangepaste versie daarvan, de zgn. $t$-verdeling
(Figuur \@ref(fig:tkansverdeling)). Deze kansverdeling van $t$ is iets
breder, d.w.z. met een iets lagere top en met iets dikkere staarten, dan
de standaard-normale kansverdeling van $Z$ in
Figuur \@ref(fig:normaalkansverdeling). 
De gedachte daarbij is dat de
schatting van $\mu$ wat onzekerder is (dus de kansverdeling is breder)
omdat niet alleen $\mu$ maar ook de standard error of the mean
($s/\sqrt{n}$) geschat wordt op grond van de steekproef. In allebei de
schattingen kunnen afwijkingen zitten, waardoor iets meer kans is om een
steekproefgemiddelde te vinden dat afwijkt van het populatiegemiddelde.
Zoals we al zagen wordt de schatting van $\mu$ beter naarmate $n$ groter
is: de $t$-verdeling benadert dan de standaard-normale kansverdeling.

```{r tkansverdeling, echo=FALSE, fig.cap="Kansverdeling volgens de t-verdeling van een variabele $x$ met gemiddelde 0 en standaarddeviatie 1, voor n=600 en n=6."}
curve( dt(x,df=600-1), from=-4, to=+4, xlim=c(-3,3), lwd=2, ylab="P(x)", n=501, col="navy" )
curve( dt(x,df=6-1), from=-4, to=+4, lwd=2, add=TRUE, n=501, col="darkred" )
text( -0.5, 0.25, "n=6", col="darkred", cex=1.5)
text( 1.1, 0.35, "n=600", col="navy", cex=1.5)
```

Voor de $t$-verdeling moeten we dus weten hoe groot de steekproef was;
deze $n$ bepaalt immers de precieze kansverdeling van $t$, en daarmee de
kritieke waarde $t*$. We gaan daar nader op in in
§\@ref(sec:ttoets-vrijheidsgraden). We volstaan hier met een
uitgewerkt voorbeeld.

---

> *Voorbeeld 10.11:* 
Soms wil een onderzoeker weten hoe snel het Nederlands eigenlijk
gesproken wordt, en hoe groot de variatie tussen sprekers is in deze
spreeksnelheid. Deze variabele, spreeksnelheid, wordt uitgedrukt als het
aantal seconden dat een lettergreep duurt (meestal $<1$ seconde). Hoewel [@Quene08]
schat dat $\mu=0.220$ s en $\sigma=0.0225$ s, doen we alsof we deze
populatieparameters niet kennen --- net als echte onderzoekers, die deze
populatieparameters meestal ook niet kennen.

> Voor een steekproef van $n=30$ sprekers vinden we $\bar{x}=0.215$ en
$s=0.0203$ seconden. Daaruit schatten[^fn10-4] we $\hat{\mu}=0.215$ en
$\hat{\sigma}=0.0203$. Omdat $\sigma$ niet bekend is, gebruiken we de
$t$-verdeling om het betrouwbaarheidsinterval te bepalen. We gebruiken
de $t$-verdeling voor $n=30$ en vinden een kritieke waarde $t^*=2.05$
(zie
Bijlage \@ref(app-kritieketwaarden), voor $B=95$%). 
Volgens
formule \@ref(eq:t-onesampleCI) weten we dan met 95% betrouwbaarheid dat het onbekende populatiegemiddelde $\mu$ ligt tussen
$\bar{x}-2.05\times s_{\bar{x}}$ en $\bar{x}+2.05\times s_{\bar{x}}$,
oftewel tussen $0.215-2.05\times0.0037$ en $0.215+2.05\times0.0037$,
oftewel tussen $0.208$ en $0.223$ seconde
Als de werkelijke waarde in de populatie tussen deze grenzen ligt, dan is er een kans van 95% om dit gemiddelde te vinden in een aselecte steekproef [@Spie19, p.241]. 

---

In Figuur \@ref(fig:tempo95CIs) zie je de resultaten van een
computer-simulatie om dit te illustreren. We hebben $100\times$
denkbeeldige steekproeven getrokken van $n=30$ moedertaalsprekers van
het Standaard Nederlands, en de spreeksnelheid vastgesteld van deze
sprekers. Voor elke steekproef hebben we het 95%
betrouwbaarheidsinterval getekend. Voor 95 van de 100 steekproeven valt
het populatiegemiddelde $\mu=0.220$ inderdaad binnen het interval, maar
voor 5 van de 100 steekproeven ten onrechte niet (deze zijn gemarkeerd
langs de rechterkant).

```{r tempo95CIs, echo=FALSE, fig.cap="95%-Betrouwbaarheidsintervallen en steekproefgemiddelden, over 100 gesimuleerde steekproeven (n=30) uit een populatie met gemiddelde 0.220 en s.d. 0.0225; zie tekst."}
# plot.tempo95CIs.20150325
# data van tempo van CGN sprekers
set.seed(20090227) # first version
nn <- 30
conf <- .95
mu <- 0.220
sigma <- 0.0225
nsim <- 100
crit <- qt( 1-((1-conf)/2), (nn-1) )
se <- function(x) { sd(x)/sqrt(length(x)) }
results <- NA
hits <- rep(NA,nsim)
op <- par( oma=c(0,0,0,0), mar=c(3,1,3,1)+0.1 )
plot( 1:nsim, 1:nsim, type="n", 
	xlab="Spreektempo (seconde/lettergreep)", ylab="", xlim=c(0.195,0.245), yaxt="n" )
abline( v=0, lty=2 )

for (i in 1:nsim) {
	aux <- rnorm(nn,mu,sigma)
	lb <- mean(aux)-crit*se(aux)
	ub <- mean(aux)+crit*se(aux)
	results <- append( results, c(mean(aux),se(aux),lb,ub) )
	hits[i] <- hqmisc::is.inrange( mu, c(lb,ub) )
	lines( x=c(lb,ub), y=rep(i,2), type="l",lwd=2,
	       col=ifelse(hits[i],"black","red") )
	points( x=mean(aux), y=i, pch=20, cex=.5 ) # added 20090319
	}
results <- results[2:length(results)]
results <- matrix(results,ncol=4,byrow=T)
mtext("Spreektempo (seconde/lettergreep)", side=1, line=2)
mtext("Spreektempo (lettergreep/seconde)", side=3, line=2)
abline(v=mu, col="grey", lty=2) 
xx <- seq(0.18,0.26,by=0.02)
axis(side=3, at=xx, labels=round(1/xx,2) ) 
axis(side=4, at=which(!hits), labels=F) # ticks only
# clean up
rm(nn,conf,mu,sigma,nsim,crit,i)
rm(aux,lb,ub)
# keep results matrix
par(op)
```

### formules

Het tweezijdige $B$% betrouwbaarheidsinterval voor het
populatie-gemiddelde is 
\begin{equation}
  \bar{X} \pm t^*_{n-1} \times \frac{s}{\sqrt{n}}
  (\#eq:t-onesampleCI)
\end{equation}
waarbij $t^*$ met $n-1$ vrijheidsgraden gevonden wordt met behulp van
Bijlage \@ref(app-kritieketwaarden), zie
§\@ref(sec:ttoets-vrijheidsgraden) voor meer uitleg hierover.

[^fn10-1]: Twee van de fiches zijn echter zonder letter; later in deze paragraaf zullen we deze blanco fiches verwijderen uit het zakje.

[^fn10-2]: Roulettespelers kunnen gokken op 36 van de 37 mogelijke uitkomsten, dus op de lange termijn ontvangt het casino $1/37$ deel van alle inzetten.

[^fn10-3]: Dus ${n \choose x} = {n-1 \choose x} + {n-1 \choose x-1}$, [@Weis15].

[^fn10-4]: Schattingen van parameters worden aangegeven met een "dakje" erboven.