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\section{Verallgemeinerte Garben}
\label{sec:gen-sheaves}

In diesem Abschnitt werden die Beobachtungen der letzten beiden
Abschnitte vereint. Nach Abschnitt \autoref{sec:simp-comp-sheaf} sind
Garben auf einem Simplizialkomplex $\K$ nichts anderes als ein
Simplizialkomplex von Garben über dem einpunktigen Raum, und ein
Simplizialkomplex von Garben über einem topologischen Raum $X$
entspricht einer Garbe auf dem Produkt $\K \times X$. In Abschnitt
\autoref{sec:simp-comp-sk} haben wir Simplizialkomplexe $\K$ von
Mengen geometrisch charakterisiert als die simplizial konstanten
Garben auf der geometrischen Realisierung $|\K|$ von $\K$. Wir
erwarten daher auch eine relative Version dieser Aussage über einem
beliebigen topologischen Raum $X$, die die Simplizialkomplexe von
Garben auf $X$ alias Garben auf $\K \times X$ geometrisch
beschreibt. Wir werden sehen, dass es ein allgemeines Verfahren zur
Relativierung solcher Aussagen gibt.

Unser Zugang benötigt den Begriff von Garben auf einem topologischen
Raum $X$ mit Werten in einer beliebigen Kategorien $C$. Die
Garbenbedigung ist dabei die schon in \autoref{sec:simp-comp-sheaf}
verwendete.
\begin{defn}[\cite{TG}, 2.1.5]
  Sei $C$ eine Kategorie und $X$ ein topologischer Raum. Eine
  $C$-wertige Prägarbe $F \in [\OffX\op, C]$ auf $X$ heißt
  \emph{$C$-wertige Garbe auf $X$}, falls sie die Garbenbedingung
  erfüllt:
  \begin{quote}
    Für alle gesättigten offenen Überdeckungen $U = \bigcup_i U_i$
    einer offenen Menge gilt $F(U) = \lim_i F(U_i)$.
  \end{quote}
\end{defn}
Wir notieren die Kategorie der $C$-wertigen Prägarben auf $X$ mit $\p
C_{/X}$ und die der $C$-wertigen Garben auf $X$ mit $C_{/X}$.

Für $C$ die Kategorien der Mengen oder der abelschen Gruppen ist obige
Definition äquivalent zur bekannten Definition über die eindeutige
Verklebbarkeit von verträglichen Schnitten.

Auch das Konzept der Garbifizierung können wir auf $C$-wertige
Prägarben verallgemeinern.
\begin{defn}
  Eine Kategorie $C$ heißt \emph{vollständig}, wenn in ihr alle
  Limites über kleine Kategorien existieren.
\end{defn}
Dual dazu bedeutet Kovollständigkeit, dass alle Kolimites über kleine
Kategorien existieren.
\begin{satz}
  Sei $C$ eine vollständige und kovollständige Kategorie. Dann hat der
  Vergissfunktor $C_{/X} \to \p C_{/X}$ einen Linksadjungierten,
  genannt (verallgemeinerte) Garbifizierung.
\end{satz}
\begin{proof}
  Sei $F \in \p C_{/X}$. Wir behaupten, dass die Prägarbe
  \[ F^+(U) :=   \colf_{\mathcal{U}/U} \lim_{V \in \mathcal{U}} F(V) \]
  mit den induzierten Restriktionen eine Garbe ist und die
  Adjunktionseigenschaft erfüllt. Dabei steht $\mathcal{U}/U$ für das
  filtrierende System aller gesättigten Überdeckungen $\mathcal{U}$
  von $U$. Die Konstruktion ist funktoriell.

  Für die Garbeneigenschaft konstruieren wir für eine gesättigte
  offene Überdeckung $U = \bigcup U_i$ inverse Morphismen
  \[ \colf\limits_{\mathcal{U}/U} \lim_{V \in \mathcal{U}} F(V)
  \rightleftarrows
  \lim_i \colf\limits_{\mathcal{U}_i/U_i} \lim_{V \in \mathcal{U}_i} F(V).
  \]
  Dabei werden einer Überdeckung in $\mathcal{U}/U$ die Überdeckungen
  in $\mathcal{U}_i/U_i$ zugeordnet, die sich durch Schneiden mit
  $U_i$ ergeben, und umgekehrt Familien von Überdeckungen der $U_i$
  die ihrer Vereinigung zugeordnete gesättigte Überdeckung von $U$
  zugeordnet.

  Wir müssen uns keine Gedanken über das Kommutieren gewisser Dreiecke
  machen, denn alle vorkommenden Morphismen sind eindeutige
  Restriktionen. Die Abbildungen erhält man somit aus den natürlichen
  Projektionen und Inklusionen des Limes und Kolimes. Bei den beiden
  Kompositionen der Morphismen werden die Überdeckungen unter
  Umständen verfeinert mittels der Restriktionsabbildungen. Da
  kompatible Systeme von Schnitten und kompatible Systeme von
  verfeinerten Schnitten im Kolimes gleich sind, folgt, dass die
  Morphismen zueinander invers sind.
  
  Auch für die Adjunktionseigenschaft gehen wir wie bei mengenwertigen
  Garben vor. Wir erhalten zunächst den natürlichen
  Prägarbenmorphismus $F \to F^+$, der auf $U$ die Inklusion in den
  Kolimes von der einelementigen Überdeckung von $U$ ist. Jeder
  Prägarbenmorphismus $F \to G$ in eine Garbe $G$ faktorisiert
  eindeutig über diese Garbifizierung $F \to F^+$, denn wieder sind
  die Morphismen $F(U) \to G(U) = \colf_{\mathcal{U}/U} \lim_{V \in
    \mathcal{U}} G(V)$ auf $U$ die Inklusionen in den Kolimes
  bezüglich der einelementigen Überdeckung. Auf feineren Überdeckungen
  von $U$ ist $F^+ \to G$ dann durch die Garbeneigenschaften von $F^+$
  und $G$ eindeutig festgelegt.
\end{proof}

Wir prüfen, dass wir so insbesondere eine Garbifizierung zu
``garbenwertigen Garben'' erhalten.
\begin{lemma} \label{ensx-complete}
  Die Kategorien $\EnsX$ und $\AbX$ der (abelschen) Garben auf einem
  topologischen Raum $X$ sind vollständig und kovollständig.
\end{lemma}
\begin{proof}
  Die Kategorien der Mengen $\Ens$ ist vollständig und
  kovollständig. Somit ist auch die Kategorie $[\OffX\op, \Ens]$ der
  Prägarben auf $X$ vollständig und kovollständig nach der
  Beschreibung von Limites in Funktorkategorien als objektweise
  Limites. Als Rechtsadjungierter der Garbifizierung vertauscht nun
  der Inklusionsfunktor $\iota: \EnsX \to \pEnsX$ mit Limites,
  d. h. die Limites in $\EnsX$ sind die Limites der zugehörigen
  Prägarben. Der Kolimes eines Systems $F_i \in \EnsX$ ist die
  Garbifizierung des Prägarben-Kolimes $\col_i \iota F_i$, denn für
  eine eine Garbe $G \in \EnsX$ gilt:
  \begin{align*}
    \EnsX((\col_i \iota F_i)^+, G)
    &\iso \pEnsX(\col_i \iota F_i, \iota G) \\
    &\iso \lim_i \pEnsX(\iota F_i, \iota G) \\
    &\iso \lim_i \EnsX(F_i, G).
  \end{align*}
  Derselbe Beweis gilt für $\AbX$ unter Verwendung der Vollständigkeit
  und Kovollständigkeit der abelschen Gruppen.
\end{proof}
Der Beweis hat nur benutzt, dass $\pEnsX$ vollständig und
kovollständig ist und $\EnsX$ eine volle Unterkategorie mit
Linksadjungiertem zur Inklusion.
\begin{defn} \label{def:refl-sub}
  Eine volle Unterkategorie einer Kategorie, für die die Inklusion
  einen Linksadjungierten besitzt, heißt \emph{reflektive}
  Unterkategorie. In diesem Fall heißt der Linksadjungierte
  \emph{Reflektor}.
\end{defn}
Wir halten fest:
\begin{prop} \label{refl-sub-complete}
  Sei $C \subset D$ eine reflektive Unterkategorie. Ist $D$
  vollständig, so ist auch $C$ vollständig mit denselben Limites. Ist
  $D$ kovollständig, so ist auch $C$ kovollständig mit den
  Reflektionen der Kolimites in $D$ als Kolimites.
\end{prop}

Bei ``garbenwertige Garben'' handelt es sich nun um Garben auf dem
Produktraum. Bezeichne dazu wieder $\B$ die Kategorie der Basis der
Produkttopologie auf $X \times Y$ durch Produktmengen mit Inklusionen
als Morphismen.
\begin{satz} \label{sheaves-prod-topos}
  Seien $X$ und $Y$ topologische Räume. Dann gibt es eine Äquivalenz
  von Kategorien
  \[ (\EnsX)_{/Y} \qiso \Ens_{/\B} \fromqiso \Ens_{/X \times Y} \]
  gegeben durch
  \begin{align*}
    U \times V &\mapsto (F(V))(U) \qquad
    \text{für } F \in (\EnsX)_{/Y} \text{ und} \\
     U \times V &\mapsto F(U \times V) \qquad
     \text{die Restriktion für } F \in \Ens_{/X \times Y}
  \end{align*}
  für $U \open X$ und $V \open Y$.
\end{satz}
\begin{bem}
  Dies verallgemeinert wegen \ref{sheaf-order-top} die Aussage für $Y
  = \K$ aus \ref{simp-comp-sheaf}.
\end{bem}
\begin{proof}
  Die zweite Äquivalenz ist die Aussage von \ref{sheaf-on-basis}. Für
  die erste Äquivalenz bemerken wir wie im Beweis von
  \ref{simp-comp-sheaf}, dass die zugrundeliegenden
  Prägarbenkategorien übereinstimmen. Nun fordert die Garbenbedingung
  für $\Ens_{/\B}$ die Verklebungseigenschaft für beliebige
  Überdeckungen von Basismengen durch Basismengen, während die
  Garbenbedingungen für $(\EnsX)_{/Y}$ die Verklebungseigenschaft für
  ``Produkt-Überdeckungen'' von Basismengen fordert, d.~h. für
  Überdeckungen der Form $U \times V = \bigcup_{i,j} U_i \times V_j$
  für $U = \bigcup_i U_i$ eine Überdeckung von $U$ und $V = \bigcup_j
  V_j$ eine Überdeckung von $V$. Wir rechnen dies nach:
  \begin{align*}
    (F(V))(U)
    &= (\lim_j F(V_j))(U) \\
    &= \lim_j F(V_j)(U) \\
    &= \lim_j \lim_i F(V_j)(U_i).
  \end{align*}
  Dabei wurde im ersten Schritt die Garbenbedingung von $F \in
  (\EnsX)_{/Y}$ und im dritten die von $F(V_j) \in \EnsX$
  verwendet. Der zweite Schritt ist die Beschreibung von Limites in
  Funktorkategorien als objektweise Limites.

  Die beiden Verklebungsbedingungen sind äquivalent: Eine beliebige
  Überdeckung von $U \times V$ induziert mit den Projektionen auf $X$
  und $Y$ Überdeckungen von $U$ und $V$ und die
  Verträglichkeitsvoraussetzung für die Garbenbedingung von
  $\Ens_{/\B}$ bezüglich der Produktüberdeckung ist genau dann
  erfüllt, wenn sie für die ursprüngliche Überdeckung erfüllt ist.
\end{proof}
\begin{bem}
  Für abelsche Garben erhalten wir die analoge Aussage
  \[ (\AbX)_{/Y} \qiso \Ab_{/X \times Y} . \]
\end{bem}

\subsection{Exkurs: Überlagerungen von Produkträumen}

Nachdem der vorangegangene Satz die étalen Räume über einem
Produktraum $X \times Y$ beschreibt, möchten wir die Überlagerungen
eines solchen Produktraums beschreiben. Wir können die Frage in
unserer Terminologie von Garben formulieren.
\begin{prop}
  Die Äquivalenz von Kategorien
  \[ \EnsX \overset{\approx}{\rightleftarrows} \etTop_X \]
  induziert eine Äquivalenz der vollen Unterkategorien
  \[ \EnsX^{\lk} \overset{\approx}{\rightleftarrows} \Ub_X, \]
  wobei $\EnsX^{\lk}$ die lokal konstanten Garben auf $X$ bezeichnet.
\end{prop}
\begin{proof}
  Die Äquivalenz induziert zunächst die Äquivalenz der vollen
  Unterkategorien der konstanten Garben und der trivialen
  Überlagerungen und dann bei lokaler Forderung der jeweiligen
  Eigenschaften die behauptete Aussage.
\end{proof}

Wir erinnern an die überlagerungstheoretische Definition einfachen
Zusammenhangs in der Sprache von Garben.
\begin{defn}
  Ein topologischer Raum $Y$ heißt \emph{einfach zusammenhängend},
  wenn jede lokal konstante Garbe auf $Y$ konstant ist.
\end{defn}
Einfach zusammenhängende Räume sind somit insbesondere
zusammenhängend, da wir sonst auf den Zusammenhangskomponenten
triviale Überlagerungen wählen können, deren Fasern verschiedene
Kardinalitäten haben.

\begin{satz}
  Seien $X$ ein topologischer Raum und $Y$ ein einfach
  zusammenhängender topologischer Raum. Bezeichne $\pi: X \times Y \to
  X$ die Projektion. Dann induzieren die Funktoren
  \[ \EnsX^{\lk}
  \mathrel{\mathop{\rightleftarrows}^{\pi^*}_{\pi_*}}
  \Ens_{/X \times Y}^{\lk} \]
  eine Äquivalenz von Kategorien.
\end{satz}
\begin{proof}
  Der Isomorphismus $F \iso \pi_* \pi^* F$ für $F \in \EnsX^{\lk}$ ist
  gerade die Aussage zu finalem Rückzug mit zusammenhängender Faser
  \ref{final-pullback}, da $Y$ zusammenhängend ist als einfach
  zusammenhängender Raum.

  Der Isomorphismus $\pi^* \pi_* F \iso F$ für $F \in \Ens_{/X \times
    Y}^{\lk}$ folgt aus der Aussage zu faserkonstanten Garben
  \ref{constant-on-fibers}, falls wir zeigen können, dass $F$ konstant
  ist auf den Fasern von $\pi$. Tatsächlich ist aber
  $F|_{\pi^{-1}(x)}$ eine lokal konstante Garbe auf $Y$ und mithin
  konstant wegen des einfachen Zusammenhangs von $Y$.
\end{proof}

\subsection{Anwendung auf den relativen Fall}

Wir formulieren nun die relative Form schwacher Konstruierbarkeit und
erklären, wie man mit dem Begriff ``garbenwertiger Garben'' die
relative Form von \ref{dersk-eq} erhält.
\begin{defn}
  Sei $X$ ein topologischer Raum und $\K$ ein Simplizialkomplex. Eine
  Garbe $F \in \Ab_{|\K| \times X}$ heißt \emph{relativ zu $X$ schwach
    $\K$-konstruierbar}, falls es für jedes $\sigma \in \K$ eine Garbe
  $G_\sigma \in \AbX$ gibt mit
  \[ F|_{|\sigma| \times X} \iso \pi^* G_\sigma \]
  für $\pi: |\sigma| \times X \to X$ die Projektion.
\end{defn}

Wir könnten nun für diesen Begriff dieselben Aussagen wie im
vorangegangen Abschnitt mit vollkommen analogen Argumenten erneut
beweisen. Unsere obige Charakterisierung von Garben auf Produkträumen
ermöglicht uns aber ein einfacheres Vorgehen. Wir bemerken, dass für
die benötigten Konstruktionen (Rückzug, Vorschub, derivierte
Funktoren), ihre Eigenschaften (Adjuktionen, Exaktheit) und die darauf
aufbauende Argumentation im vorangegangenen Abschnitt der Umstand
keine Rolle gespielt hat, dass unsere Garben Werte in den abelschen
Gruppen annehmen. Dieselben Konstruktionen funktionieren für
$\mathcal{A}_{/\Top}$ eine Garbenkategorie mit Werten in einer
beliebigen vollständigen abelschen Kategorie $\mathcal{A}$. Davon
überzeugt man sich im Zweifel auch explizit zunächst durch Übertragung
der Aussagen auf Garbenkategorien mit Werten in $R$-Linksmoduln und
dann durch den Einbettungssatz von Mitchell auf beliebige abelsche
Kategorien.

Um den relativen Fall abzuschließen, werden wir diese Argumentation
auf den Fall $\mathcal{A} = \AbX$ anwenden. Die benötigten
homotopieinjektiven Auflösungen im Beweis erhalten wir dann durch die
Äquivalenz $(\AbX)_{/Y} \qiso \Ab_{/X \times Y}$. Wir erhalten:
\begin{theorem} \label{dersk-eq-rel}
  Sei $\K$ ein Simplizialkomplex. Dann gibt es eine Äquivalenz von
  Kategorien
  \[ \Der(\Ab^{\sk}_{/|\K| \times X})
     \mathrel{\mathop{\rightleftarrows}^{\iota}_{R \beta}}
     \Der^{\sk}(|\K| \times X),
  \]
  wobei $\iota$ die Inklusion und $\beta = (p \times \id_X)^* (p
  \times \id_X)_*: \Ab_{|\K| \times X} \to \Ab^{\sk}_{/|\K| \times X}$
  ist.
\end{theorem}
\begin{bem}
  Der tieferstehende Grund für \ref{sheaves-prod-topos} und die sich
  daraus ergebende Möglichkeit, alle über $X = \point$ gezeigten
  Aussagen auch zu relativieren, ergibt sich daraus, dass es sich bei
  $\Ens$ und $\EnsX$ um \emph{elementare Topoi} handelt, d.~h. um
  Kategorien, die die wichtigsten Eigenschaften der Kategorie der
  Mengen verallgemeinern. Für die Übertragung von Aussagen von $\Ens$
  auf einen Topos $E$ verwendet man die
  \emph{Mitchell-Bénabou-Sprache} (\cite{MoerTopoi}, VI.5) von
  $E$. Die \emph{Kripke-Joyal-Semantik} (\cite{MoerTopoi}, VI.6) weist
  Formeln der Mitchell-Bénabou-Sprache wieder logische Aussagen
  zu. Mit dieser Übertragungstechnik bleiben Aussagen aus $\Ens$ in
  $E$ gültig, wenn sie mittels ausschließlich \emph{konstruktiver}
  Argumente beweisbar sind. Konkreter sind als Schlussregeln die
  Regeln des intuitionistischen Prädikatenkalküls erlaubt, die sich
  von den Schlussregeln der klassischen Logik unterscheiden: nicht
  erlaubt sind Widerspruchsargumente (kein Satz vom ausgeschlossenen
  Dritten), das Gesetz der doppelten Negation und die Verwendung des
  Auswahlaxioms (\cite{MoerTopoi}, VI.5, letzter Absatz).

  Diese Übertragungstechniken sind in der algebraischen Geometrie
  (auch ohne diese Namen) wohlbekannt und führen zu den
  ``Wörterbüchern'', unter denen etwa Ringe Garben von Ringen und
  $R$-Moduln $\mathcal{O}_X$-Moduln entsprechen.
\end{bem}