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Para $n = 1$ temos que

$$ \sum_{i = 1}^1 \frac{1}{2^i} = \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2^1}, $$

de modo que a afirmativa é verdadeira neste caso. Suponha que a afirmativa é verdadeira para um inteiro positivo $m$. Para $m + 1$ temos que

$$ \begin{align} \sum_{i = 1}^{m + 1} \frac{1}{2^i} &= \left( \sum_{i = 1}^{m} \frac{1}{2^i} \right) + \frac{1}{2^{m + 1}} \\ &= \left( 1 - \frac{1}{2^m}\right) + \frac{1}{2^{m + 1}} \\ &= 1 + \left( \frac{1}{2^{m + 1}} - \frac{1}{2^m}\right) \\ &= 1 + \left( \frac{1}{2^{m + 1}} - \frac{1}{2^m}\right) \\ &= 1 - \frac{1}{2^{m + 1}} \\ \end{align} $$

Portanto, a afirmativa é verdadeira para todo inteiro $n\geq 1$.