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www.kdnuggets.com/2021/02/essential-math-data-science-scalars-vectors.html
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机器只理解数字。例如，如果你想创建一个垃圾邮件检测器，你必须先将文本数据转换为数字（例如，通过词嵌入）。数据随后可以存储在向量、矩阵和张量中。例如，图像被表示为值在 0 到 255 之间的矩阵，代表每个像素每种颜色的亮度。可以利用线性代数领域的工具和概念来操作这些向量、矩阵和张量。
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线性代数是研究向量空间的数学分支。你将看到向量如何构成向量空间，以及线性代数如何将线性变换应用于这些空间。你还将了解线性方程组与向量方程之间的强大关系，这与最小二乘近似等重要数据科学概念相关。最后，你将学习重要的矩阵分解方法：特征分解和奇异值分解（SVD），这些对理解主成分分析（PCA）等无监督学习方法非常重要。
线性代数处理向量。该领域的其他数学实体可以通过它们与向量的关系来定义：例如，标量是单一的数字，当它们与向量相乘时，会缩放这些向量（拉伸或收缩）。
然而，向量根据其使用领域指代不同的概念。在数据科学的背景下，它们是一种存储数据值的方式。例如，考虑人的身高和体重：由于这些是具有不同含义的独立值，你需要将它们分别存储，例如使用两个向量。然后，你可以对向量进行操作，以操控这些特征，同时不会丧失这些值对应于不同属性的事实。
你还可以使用向量来存储数据样本，例如，将十个人的身高存储为包含十个值的向量。
符号表示法
我们将使用小写粗体字母来命名向量（如 vv）。如常规，请参阅 数据科学基础数学 中的附录，以获得本书中使用的符号总结。
词汇 向量 可以指多个概念。让我们更多地了解几何向量和坐标向量。
坐标 是描述位置的数值。例如，地球上任何位置都可以通过地理坐标（纬度、经度和高度）来指定。
几何向量
几何向量，也称为 欧几里得向量，是由其大小（长度）和方向定义的数学对象。这些属性使你能够描述从一个位置到另一个位置的位移。
图 1: 从 A 到 B 的几何向量。
例如，图 1 显示了点 A 的坐标为 (1, 1)，点 B 的坐标为 (3, 2)。几何向量 v 描述了从 A 到 B 的位移，但由于向量由其大小和方向定义，你也可以将 v 表示为从原点开始。
笛卡尔平面
在图 1 中，我们使用了一个叫做 笛卡尔平面 的坐标系统。水平线和垂直线是 坐标轴，通常分别标记为 x 和 y。两个坐标轴的交点称为 原点，对应于每个轴的坐标 0。
在笛卡尔平面中，任何位置都可以通过 x 和 y 坐标来指定。笛卡尔坐标系统可以扩展到更多维度：在 n 维空间中，点的位置由 nn 个坐标指定。实际的 n 维坐标空间，包含 n 元组的实数，被称为
。例如，空间
是包含实数对（坐标）的二维空间。在三维空间 (
) 中，空间中的一点由三个实数表示。
坐标向量
坐标向量 是与向量坐标对应的有序数字列表。由于向量的初始点位于原点，你只需要编码终点的坐标。
图 2: 向量 vv 的坐标为 (3, 2)，对应于从原点在 x 轴上三单位和在 y 轴上两单位。
例如，我们来看看图 2 中表示的向量 v。相应的坐标向量如下：
每个值与一个方向相关联：在这种情况下，第一个值对应于 xx 轴方向，第二个数对应于y轴。
图 3：坐标向量的分量。
如图 3 所示，这些值被称为分量或条目。
图 4：向量可以表示为笛卡尔平面上的点。
此外，如图 4 所示，你可以简单地表示箭头的终点：这就是散点图。
索引
索引指的是使用位置（即索引）获取向量分量（向量中的一个值）的过程。
Python 使用零基索引，意味着第一个索引是零。然而，从数学上讲，约定是使用一基索引。我将用下标表示向量v的分量i，即v[i]，不使用粗体，因为向量的分量是标量。
Numpy
在 Numpy 中，向量被称为一维数组。你可以使用函数np.array()来创建一个：
v = np.array([3, 2])
varray([3, 2])更多分量
让我们以v为例，定义为三维向量如下：
如图 5 所示，你可以通过在 xx 轴上移动 3 个单位，在 yy 轴上移动 4 个单位，以及在 zz 轴上移动 2 个单位来到达向量的终点。
图 5：原点在(0, 0, 0)和点在(3, 4, 2)的三维表示。
更一般地，在一个n维空间中，终点的位置由n个分量描述。
维度
你可以使用集合符号表示向量的维度
。它表示实际坐标空间：这是一个具有实数作为坐标值的 nn 维空间。
例如，向量在
中具有三个分量，如下例中的向量v：
数据科学中的向量
在数据科学的背景下，你可以使用坐标向量来表示你的数据。
你可以将数据样本表示为向量，每个分量对应一个特征。例如，在一个房地产数据集中，你可以有一个向量表示一个公寓，其特征作为不同的分量（如房间数、位置等）。
另一种方法是为每个特征创建一个向量，每个向量包含所有观测值。
将数据存储在向量中允许你利用线性代数工具。请注意，即使你不能可视化具有大量分量的向量，你仍然可以对它们应用相同的操作。这意味着你可以使用二维或三维来获取线性代数的见解，然后将所学应用于更高维度。
点积（指用于描述此操作的点符号），也称为 标量积，是一种对向量进行的操作。它接受两个向量，但与加法和标量乘法不同，它返回一个单一的数字（一个标量，因此得名）。它是更一般的操作 内积 的一个例子。
图 6：点积的示意图。
图 6 显示了点积的工作原理。你可以看到它对应于具有相同索引的分量的乘积之和。
向量 u 和 v 之间的点积，用符号 ⋅ 表示，定义为每对分量乘积的和。更正式地，它表示为：
其中 m 是向量 u 和 v 的分量数量（它们必须具有相同数量的分量），i 是当前向量分量的索引。
点符号
请注意，点积的符号与用于标量之间乘法的点相同。上下文（元素是标量还是向量）告诉你它指的是哪一个。
让我们举一个例子。你有以下向量：
和
这两个向量的点积定义为：
向量 u 和 v 之间的点积是 35。这将两个向量 u 和 v 转换为一个标量。
让我们使用 Numpy 来计算这些向量的点积。你可以使用 Numpy 数组的 dot() 方法：
u = np.array([2, 4, 7])
v = np.array([5, 1, 3])
u.dot(v)35还可以使用以下等效语法：
np.dot(u, v)35或者，在 Python 3.5+ 中，也可以使用 @ 运算符：
u @ v35向量乘法
请注意，点积不同于 逐元素 乘法，也称为 Hadamard 积，它返回另一个向量。符号 ⊙⊙ 通常用于描述此操作。例如：
点积与向量长度
平方 L² 范数可以通过向量与自身的点积（u ⋅ u）来计算：
这是机器学习中的一个重要属性，如你在 数据科学的基础数学 中所看到的。
特殊情况
两个正交向量之间的点积等于 0。此外，单位向量与自身的点积等于 1。
你如何解释几何向量的点积操作。你在数据科学的基础数学中见过向量的加法和标量乘法的几何解释，那么点积呢？
让我们来看以下两个向量：
和
首先，让我们计算u和v的点积：
这个标量的意义是什么？嗯，它与将u投影到v上的想法有关。
图 7：点积可以看作是 vv 的长度与投影的长度（向量 uprojuproj）的乘积。
如图 7 所示，将u投影到v方向的直线上的投影就像是向量u在这条直线上的影子。点积的值（在我们的例子中为 6）对应于v的长度（L²范数∥v∥）和u在v上的投影的长度（L²范数∥*u[proj]*∥）的乘积。你要计算：
请注意，这些元素是标量，因此点号指的是这些值的乘法。你有：
将u投影到v上的定义如下（你可以参考数据科学的基础数学查看有关向量投影到直线上的数学细节）：
所以u[proj]的L²范数是 0.75 倍v的L²范数：
最后，v的长度与投影的长度的乘积是：
这表明你可以将几何向量上的点积看作是一种投影。使用投影给出的结果与你使用点积公式得到的结果相同。
此外，你通过点积得到的值告诉你两个向量之间的关系。如果这个值是正的，向量之间的角度小于 90 度；如果是负的，角度大于 90 度；如果是零，则向量正交，角度为 90 度。
让我们回顾点积的一些属性。
分配律
点积是分配律的。这意味着，例如，对于三个向量u、v和w，你有：
结合律
点积不是结合律的，这意味着操作的顺序很重要。例如：
点积不是一个二元操作符：两个向量的点积结果不是另一个向量（而是一个标量）。
交换律
向量之间的点积被称为交换律。这意味着点积中向量的顺序并不重要。你有：
然而，要小心，因为这对矩阵不一定适用。
简介： 哈德里安·让 是一名机器学习科学家。他拥有巴黎高等师范学院的认知科学博士学位，曾利用行为学和电生理数据研究听觉感知。他曾在工业界工作，构建了用于语音处理的深度学习管道。在数据科学与环境交汇处，他从事关于利用深度学习分析音频记录进行生物多样性评估的项目。他还定期在 Le Wagon（数据科学训练营）创建内容和教学，并在他的博客（hadrienj.github.io）上撰写文章。
原文。经许可转载。
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