原文：
www.kdnuggets.com/2023/05/vector-matrix-norms-numpy-linalg-norm.html
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Numerical Python 或 NumPy 是一个流行的 Python 科学计算库。NumPy 库有大量内置功能，用于创建 n 维数组并对其进行计算。
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如果你对数据科学、计算线性代数和相关领域感兴趣，学习如何计算向量和矩阵的范数会很有帮助。本教程将教你如何使用 NumPy 的linalg模块中的函数来做到这一点。
要进行代码编写，你需要在开发环境中安装 Python 和 NumPy。为了使 print() 语句中的 f-strings 正常工作，你需要安装 Python 3.8 或更高版本。
让我们开始吧！
在本讨论中，我们将首先查看向量范数。稍后我们会讨论矩阵范数。从数学上讲，范数是一个从 n 维向量空间到实数集合的函数（或映射）：
注意：范数也可以定义在复数向量空间上，C^n → R 也是一种有效的范数定义。但在本讨论中，我们将限制在实数向量空间。
对于 n 维向量x = (x1,x2,x3,...,xn)，x 的范数通常表示为 ||x||，应满足以下性质：
-
||x|| 是非负量。对于向量x，范数 ||x|| 总是大于或等于零。当且仅当向量x是全零向量时，||x|| 才等于零。
-
对于两个向量x = (x1,x2,x3,...,xn) 和 y = (y1,y2,y3,...,yn)，它们的范数 ||x|| 和 ||y|| 应满足三角不等式：||x + y|| <= ||x|| + ||y||。
-
此外，所有范数都满足 ||αx|| = |α| ||x||，其中 α 为标量。
一般来说，n 维向量x = (x1,x2,x3,...,xn)的 Lp 范数（或 p-范数）对于 p >= 0 定义为：
让我们来看看常见的向量范数，即 L1、L2 和 L∞ 范数。
L1 范数等于向量中所有元素绝对值的总和：
将 p =2 代入一般的 Lp 范数方程，我们得到向量的 L2 范数的以下表达式：
对于给定的向量 x，L∞ 范数是 x 元素 绝对 值中的 最大值：
验证这些范数是否满足前面列出的范数属性是相当简单的。
NumPy 中的 linalg 模块包含我们可以用来计算范数的函数。
在开始之前，让我们初始化一个向量：
import numpy as np
vector = np.arange(1,7)
print(vector)Output >> [1 2 3 4 5 6]让我们从 NumPy 中导入 linalg 模块：
from numpy import linalgnorm() 函数用于计算矩阵和向量的范数。此函数需要一个必需的参数——我们需要计算范数的向量或矩阵。此外，它还接受以下 可选 参数：
-
ord决定了计算的范数的阶数，以及 -
axis指定了计算范数的轴。
当我们在函数调用中没有指定 ord 时，norm() 函数默认计算 L2 范数：
l2_norm = linalg.norm(vector)
print(f"{l2_norm = :.2f}")Output >> l2_norm = 9.54我们可以通过明确将 ord 设置为 2 来验证这一点：
l2_norm = linalg.norm(vector, ord=2)
print(f"{l2_norm = :.2f}")Output >> l2_norm = 9.54要计算向量的 L1 范数，请调用 norm() 函数，设置 ord = 1：
l1_norm = linalg.norm(vector, ord=1)
print(f"{l1_norm = :.2f}")Output >> l1_norm = 21.00由于我们的示例 vector 仅包含正数，我们可以验证在这种情况下 L1 范数等于元素的总和：
assert sum(vector) == l1_norm要计算 L∞ 范数，将 ord 设置为 'np.inf'：
inf_norm = linalg.norm(vector, ord=np.inf)
print(f"{inf_norm = }")在这个例子中，我们得到 6，向量中的 最大 元素（绝对值意义上）：
Output >> inf_norm = 6.0在 norm() 函数中，你还可以将 ord 设置为 '-np.inf'。
neg_inf_norm = linalg.norm(vector, ord=-np.inf)
print(f"{neg_inf_norm = }")如你所猜，负的 L∞ 范数返回向量中的 最小 元素（绝对值意义上）：
Output >> neg_inf_norm = 1.0L0 范数给出向量中非零元素的数量。从技术上讲，这不是一个范数。它实际上是一个伪范数，因为它违反了 ||αx|| = |α| ||x|| 的属性。这是因为，即使向量被一个标量乘以，非零元素的数量 保持不变。
要获取向量中非零元素的数量，将 ord 设置为 0：
another_vector = np.array([1,2,0,5,0])
l0_norm = linalg.norm(another_vector,ord=0)
print(f"{l0_norm = }")在这里，another_vector 有 3 个非零元素：
Output >> l0_norm = 3.0到目前为止，我们已经看到如何计算向量范数。就像你可以将向量范数视为从 n 维向量空间到实数集合的映射一样，矩阵范数是从 m x n 矩阵空间到实数集合的映射。数学上，你可以表示为：
常见的矩阵范数包括 Frobenius 范数和核范数。
对于一个 m x n 的矩阵 A，其中 m 行 n 列，Frobenius 范数由下式给出：
奇异值分解（SVD）是一种矩阵分解技术，用于主题建模、图像压缩和协同过滤等应用。
SVD 将输入矩阵分解为一个左奇异向量矩阵（U）、一个奇异值矩阵（S）和一个右奇异向量矩阵（V_T）。而核范数是矩阵的最大奇异值。
继续讨论如何在 NumPy 中计算矩阵范数，让我们将 vector 重塑为一个 2 x 3 的矩阵：
matrix = vector.reshape(2,3)
print(matrix)Output >>
[[1 2 3]
[4 5 6]]如果你不指定 ord 参数，norm() 函数默认计算 Frobenius 范数。
让我们通过将 ord 设置为 'fro' 来验证这一点：
frob_norm = linalg.norm(matrix,ord='fro')
print(f"{frob_norm = :.2f}")Output >> frob_norm = 9.54当我们不传入可选的 ord 参数时，我们也得到 Frobenius 范数：
frob_norm = linalg.norm(matrix)
print(f"{frob_norm = :.2f}")Output >> frob_norm = 9.54总结来说，当 norm() 函数以矩阵作为输入时，默认返回矩阵的 Frobenius 范数。
要计算矩阵的核范数，你可以传入矩阵并在 norm() 函数调用中将 ord 设置为 'nuc'：
nuc_norm = linalg.norm(matrix,ord='nuc')
print(f"{nuc_norm = :.2f}")Output >> nuc_norm = 10.28我们通常不会在矩阵上计算 L1 和 L2 范数，但 NumPy 允许你计算任意 ord 的矩阵（2D 数组）和其他多维数组的范数。
让我们看看如何在特定轴上计算矩阵的 L1 范数——沿行和列。
类似地，我们可以设置 axis = 1。
axis = 0 表示矩阵的行。如果设置 axis = 0，则计算矩阵的 L1 范数是 跨行（或沿列）进行的，如下所示：
图片由作者提供
让我们在 NumPy 中验证这一点：
matrix_1_norm = linalg.norm(matrix,ord=1,axis=0)
print(f"{matrix_1_norm = }")Output >> matrix_1_norm = array([5., 7., 9.])类似地，我们可以设置 axis = 1。
axis = 1 表示矩阵的列。因此，通过设置 axis = 1 计算矩阵的 L1 范数是 跨列（沿行）进行的。
图片由作者提供
matrix_1_norm = linalg.norm(matrix,ord=1,axis=1)
print(f"{matrix_1_norm = }")Output >> matrix_1_norm = array([ 6., 15.])我建议你试验 ord 和 axis 参数，并尝试不同的矩阵，直到你掌握它。
我希望你现在明白了如何使用 NumPy 计算向量和矩阵范数。然而，需要注意的是，Frobenius 范数和核范数仅对矩阵定义。因此，如果你计算向量或维度超过两个的多维数组，你会遇到错误。这就是本教程的全部内容！
Bala Priya C 是一位技术作家，喜欢创作长篇内容。她的兴趣领域包括数学、编程和数据科学。她通过编写教程、使用指南等方式与开发者社区分享她的学习成果。