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2.6 树

树的定义

::: info 定义

树（Tree） 是由 n ≥ 0 个节点与节点之间的关系组成的有限集合。当 n = 0 时称为空树，当 n > 0 时称为非空树。。

:::

“树”这种数据结构很像现实生活中的“树”，每个元素叫作“节点”；用来连线相邻节点之间的关系，叫作“父子关系”。

比如上图中的第三个树，A 节点就是 B 节点的父节点，B 节点是 A 节点的子节点。B、C、D 这三个节点的父节点是同一个节点，所以它们之间互称为兄弟节点。把没有父节点的节点叫作根节点，也就是图中的节点 E。把没有子节点的节点叫作叶子节点或者叶节点，比如图中的 G、H、I、J、K、L 都是叶子节点。

  • 节点的高度 ：节点到叶子节点的最长路径（边数）
  • 节点的深度 ：根节点到这个节点所经历的变得个数
  • 节点的层数 ：节点的深度 + 1
  • 节点的度： 节点所含有的子树个数
  • 树的高度：根节点的高度

二叉树

::: info 定义

二叉树（Binary Tree） ：每个节点最多有两个子节点的树，称为二叉树。二叉树并不要求每个节点都有两个子节点，有的节点只有左子节点，有的节点只有右子节点。通常树中的分支节点被称为 「左子树」 或 「右子树」，并且两个子树是有序的，不可以互换。 :::

二叉树在逻辑上可以分为 5 种基本形态，如下图所示：

满二叉树

::: info 定义

满二叉树（Full Binary Tree） ：如果所有分支节点都存在左子树和右子树，并且所有叶子节点都在同一层上，则称该二叉树为满二叉树。 :::

完全二叉树

::: info 定义

完全二叉树（Complete Binary Tree） ：如果叶子节点只出现在最下面两层，并且最下层的叶子节点都依次排列在该层最左边的位置上，具有这种特点的二叉树称为完全二叉树。 :::

二叉树的存储

存储一棵二叉树有两种方法，一种是基于指针或者引用的二叉链式存储，一种是基于数组的顺序存储。

链式存储

链式存储中，每个节点有三个字段，其中一个存储数据，另外两个是指向左右子节点的指针。只要拎住根节点，就可以通过左右子节点的指针，把整棵树都串起来。这种存储方式比较常用。大部分二叉树代码都是通过这种结构来实现的。

顺序存储

顺序存储中，把根节点存储在下标 i = 1 的位置，左子节点存储在下标 2 * i = 2 的位置，右子节点存储在 2 * i + 1 = 3 的位置。以此类推，B 节点的左子节点存储在 2 * i = 2 * 2 = 4 的位置，右子节点存储在 2 * i + 1 = 2 * 2 + 1 = 5 的位置。

如果节点 X 存储在数组中下标为 i 的位置，下标为 2 * i 的位置存储的就是左子节点，下标为 2 * i + 1 的位置存储的就是右子节点。反过来，下标为 i / 2 的位置存储就是它的父节点。通过这种方式，我们只要知道根节点存储的位置（一般情况下，为了方便计算子节点，根节点会存储在下标为 1 的位置），这样就可以通过下标计算，把整棵树都串起来。

刚刚举的例子是一棵完全二叉树，所以仅仅“浪费”了一个下标为 0 的存储位置。如果是非完全二叉树，其实会浪费比较多的数组存储空间。

所以，如果某棵二叉树是一棵完全二叉树，那用数组存储无疑是最节省内存的一种方式。因为数组的存储方式并不需要像链式存储法那样，要存储额外的左右子节点的指针。这也是为什么完全二叉树会单独拎出来的原因，也是为什么完全二叉树要求最后一层的子节点都靠左的原因。

堆就是一种完全二叉树，最常用的存储方式就是数组。

二叉树的遍历

想要将二叉树所有节点都遍历打印出来，经典的方法有三种，前序遍历、中序遍历和后序遍历。其中，前、中、后序，表示的是节点与它的左右子树节点遍历打印的先后顺序。

  • 前序遍历 是指，对于树中的任意节点来说，先打印这个节点，然后再打印它的左子树，最后打印它的右子树。

  • 中序遍历 是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它本身，最后打印它的右子树。

  • 后序遍历 是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它的右子树，最后打印这个节点本身。

实际上，二叉树的前、中、后序遍历就是一个递归的过程。写递归代码的关键，就是看能不能写出递推公式，而写递推公式的关键就是，如果要解决问题 A，就假设子问题 B、C 已经解决，然后再来看如何利用 B、C 来解决 A。递推公式如下：

// 前序遍历：
preOrder = (r) => {
	if (r == null) return;
	console.log(r);
	preOrder(r.left);
	preOrder(r.right);
};

// 中序遍历：
inOrder = (r) => {
	if (r == null) return;
	inOrder(r.left);
	console.log(r);
	inOrder(r.right);
};
// 后序遍历：
postOrder = (r) => {
	if (r == null) return;
	postOrder(r.left);
	postOrder(r.right);
	console.log(r);
};

二叉树的遍历中，每个节点最多会被访问两次，所以遍历操作的时间复杂度，跟节点的个数 n 成正比，即二叉树遍历的时间复杂度是 O(n) 。

前序遍历

:::: md-demo 相关题目

📌 144. 二叉树的前序遍历 - LeetCode

💻 题目大意

给你二叉树的根节点 root ，返回它节点值的 前序 遍历。

进阶：递归算法很简单，你可以通过迭代算法完成吗？

💡 解题思路

思路一：递归

前序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印这个节点，然后再打印它的左子树，最后打印它的右子树。而在访问左子树或者右子树的时候，按照同样的方式遍历，直到遍历完整棵树。因此整个遍历过程天然具有递归的性质，可以直接用递归函数来模拟这一过程。

  • 先将 root 节点的值加入答案
  • 再递归调用 preorderTraversal(root.left) 来遍历 root 节点的左子树
  • 最后递归调用 preorderTraversal(root.right) 来遍历 root 节点的右子树即可
  • 递归终止的条件为碰到空节点

思路二：迭代

也可以用迭代的方式实现思路一的递归函数，两种方式是等价的，区别在于递归的时候隐式地维护了一个栈，而迭代的时候需要显式地将这个栈模拟出来，其余的实现与细节都相同，具体可以参考下面的代码。

💎 代码

::: code-tabs @tab 递归

var preorderTraversal = function (root) {
	let res = [];
	if (root == null) return res;
	res.push(root.val);
	res.push(...preorderTraversal(root.left));
	res.push(...preorderTraversal(root.right));
	return res;
};

@tab 迭代

var preorderTraversal = function (root) {
	let res = [];
	if (root == null) return res;
	let stack = [root];
	while (stack.length) {
		let node = stack.pop();
		res.push(node.val);
		if (node.right) stack.push(node.right);
		if (node.left) stack.push(node.left);
	}
	return res;
};

:::

::::

后序遍历

:::: md-demo 相关题目

📌 145. 二叉树的后序遍历 - LeetCode

💻 题目大意

给你二叉树的根节点 root ，返回它节点值的 后序 遍历。

进阶：递归算法很简单，你可以通过迭代算法完成吗？

💡 解题思路

思路一：递归

原理和前序遍历一样，前序遍历是中左右，后续遍历是左右中。

思路二：迭代

原理和前序遍历一样，只需要调整一下前序遍历的代码顺序，变成中右左，然后再反转 res 数组，输出的结果顺序就是左右中了。

💎 代码

::: code-tabs @tab 递归

var postorderTraversal = function (root) {
	let res = [];
	if (root == null) return res;
	res.push(...postorderTraversal(root.left));
	res.push(...postorderTraversal(root.right));
	res.push(root.val);
	return res;
};

@tab 迭代

var postorderTraversal = function (root) {
	let res = [];
	if (root == null) return res;
	let stack = [root];
	while (stack.length) {
		let node = stack.pop();
		res.unshift(node.val);
		if (node.left) stack.push(node.left);
		if (node.right) stack.push(node.right);
	}
	return res;
};

:::

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中序遍历

:::: md-demo 相关题目

📌 94. 二叉树的中序遍历 - LeetCode

💻 题目大意

给你二叉树的根节点 root ，返回它节点值的 中序 遍历。

进阶：递归算法很简单，你可以通过迭代算法完成吗？

💡 解题思路

思路一：递归

原理和前序遍历一样，前序遍历是中左右，中续遍历是左中右。

思路二：迭代

中序遍历是左中右，先访问的是二叉树顶部的节点，然后一层一层向下访问，直到到达树左面的最底部，再开始处理节点（也就是在把节点的数值放进 res 数组中），这就造成了处理顺序和访问顺序是不一致的。那么在使用迭代法写中序遍历，就需要借用指针的遍历来帮助访问节点，栈则用来处理节点上的元素。

💎 代码

::: code-tabs @tab 递归

var inorderTraversal = function (root) {
	let res = [];
	if (root == null) return res;
	res.push(...inorderTraversal(root.left));
	res.push(root.val);
	res.push(...inorderTraversal(root.right));
	return res;
};

@tab 迭代

var inorderTraversal = function (root) {
	let res = [];
	if (root == null) return res;
	let stack = [];
	let cur = root;
	while (cur != null || stack.length) {
		if (cur != null) {
			stack.push(cur);
			cur = cur.left;
		} else {
			cur = stack.pop();
			res.push(cur.val);
			cur = cur.right;
		}
	}
	return res;
};

:::

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层序遍历

:::: md-demo 相关题目

📌 102. 二叉树的层序遍历 - LeetCode

💻 题目大意

给你二叉树的根节点 root ，返回它节点值的 层序 遍历。（即逐层地，从左到右访问所有节点）。

💡 解题思路

思路一：广度优先遍历(BFS)

使用队列实现

  1. 首先将根节点放入队列中；
  2. 更新队列的长度 len ，遍历队列的前 len 个节点；
  3. 如果该节点存在直接子节点，将直接子节点加入队列中，并将节点的值存入一个临时数组中；
  4. 将队列的前 len 个节点出队，此时队列中都是下一层的子节点，将临时数组加入返回值中；
  5. 重复步骤 2、3、4，直至队列为空；

思路二：深度优先遍历(DFS)

  1. 维护一个递归函数，参数为节点和该节点的深度
  2. 先将根节点与深度 0 传入递归函数
  3. 将节点放入 index 与深度对应的数组内
  4. 将节点的左子节点和右子节点分别传入递归函数，深度 +1
  5. 重复步骤 3、4，直至子节点为空

💎 代码

::: code-tabs @tab 广度优先遍历(BFS)

var levelOrder = function (root) {
	let res = [];
	if (root == null) return res;
	let queue = [root];

	while (queue.length) {
		let len = queue.length;
		let temp = [];
		for (let i = 0; i < len; i++) {
			if (queue[i].left) queue.push(queue[i].left);
			if (queue[i].right) queue.push(queue[i].right);
			temp.push(queue[i].val);
		}
		queue = queue.slice(len);
		res.push(temp);
	}
	return res;
};

@tab 深度优先遍历(DFS)

var levelOrder = function (root) {
	let res = [];
	const traverse = (node, deep) => {
		if (node == null) return;
		if (res.length == deep) {
			res[deep] = [node.val];
		} else {
			res[deep].push(node.val);
		}
		traverse(node.left, deep + 1);
		traverse(node.right, deep + 1);
	};
	traverse(root, 0);
	return res;
};

:::

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二叉树的还原

二叉树的还原：指的是通过二叉树的遍历序列，还原出对应的二叉树。

单凭 前序遍历序列 或 后序遍历序列 或 中序遍历序列 是 无法 恢复一棵二叉树的。

但是，如果已知一棵二叉树的前序序列和中序序列，可以唯一地确定这棵二叉树；如果已知一棵二叉树的中序序列和后序序列，可以唯一地确定这棵二叉树。

需要注意的是：如果已知二叉树的前序序列和后序序列，不能唯一地确定一棵二叉树。这是因为没有中序遍历序列无法确定左右部分，也就无法进行子序列的分割。

二叉树的构造问题一般都是使用「分解问题」的思路：构造整棵树 = 根节点 + 构造左子树 + 构造右子树。

:::: md-demo 相关题目

📌 105. 从前序与中序遍历序列构造二叉树 - LeetCode

💻 题目大意

根据一棵树的前序遍历与中序遍历构造二叉树。你可以假设树中没有重复的元素。

💡 解题思路

构造二叉树，第一件事一定是找根节点，然后想办法构造左右子树。

前序遍历结果第一个就是根节点的值，然后再根据中序遍历结果确定左右子树的节点。

不断的递归直到所有的树都生成完成。

递归时直接传入需要的 slice 范围作为输入, 可以避免申请对应 inorder 索引的内存。

💎 代码

var buildTree = function (preorder, inorder) {
	if (preorder.length == 0) return null;
	let root = new TreeNode(preorder[0]);
	for (let i = 0; i < preorder.length; i++) {
		if (inorder[i] === root.val) {
			root.left = buildTree(preorder.slice(1, i + 1), inorder.slice(0, i));
			root.right = buildTree(preorder.slice(i + 1), inorder.slice(i + 1));
			break;
		}
	}
	return root;
};

类似的题目还有 106. 从中序与后序遍历序列构造二叉树 - LeetCode 和 889. 根据前序和后序遍历构造二叉树 - LeetCode，原理类似，详见题解。

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:::: md-demo 相关题目

📌 654. 最大二叉树 - LeetCode

💻 题目大意

给定一个不重复的整数数组 nums 。 最大二叉树 可以用下面的算法从 nums 递归地构建:

  1. 创建一个根节点，其值为 nums 中的最大值。
  2. 递归地在最大值 左边 的 子数组前缀上 构建左子树。
  3. 递归地在最大值 右边 的 子数组后缀上 构建右子树。

返回 nums 构建的 最大二叉树 。

示例 1：

输入：nums = [3,2,1,6,0,5]
输出：[6,3,5,null,2,0,null,null,1]

解释：递归调用如下所示：

  • [3,2,1,6,0,5] 中的最大值是 6 ，左边部分是 [3,2,1] ，右边部分是 [0,5] 。
    • [3,2,1] 中的最大值是 3 ，左边部分是 [] ，右边部分是 [2,1] 。
      • 空数组，无子节点。
      • [2,1] 中的最大值是 2 ，左边部分是 [] ，右边部分是 [1] 。
        • 空数组，无子节点。
        • 只有一个元素，所以子节点是一个值为 1 的节点。
    • [0,5] 中的最大值是 5 ，左边部分是 [0] ，右边部分是 [] 。
      • 只有一个元素，所以子节点是一个值为 0 的节点。
      • 空数组，无子节点。

示例 2：

输入：nums = [3,2,1]
输出：[3,null,2,null,1]

💡 解题思路

每个二叉树节点都可以认为是一棵子树的根节点，对于根节点，首先要做的当然是把想办法把自己先构造出来，然后想办法构造自己的左右子树。

所以，我们要遍历数组把找到最大值 max，从而把根节点 root 做出来，然后对 max 左边的数组和右边的数组进行递归构建，作为 root 的左右子树。

💎 代码

var constructMaximumBinaryTree = function (nums) {
	if (nums.length == 0) return null;
	let max = nums[0];
	let maxIndex = 0;
	for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
		if (nums[i] > max) {
			max = nums[i];
			maxIndex = i;
		}
	}
	let root = new TreeNode(max);
	root.left = constructMaximumBinaryTree(nums.slice(0, maxIndex));
	root.right = constructMaximumBinaryTree(nums.slice(maxIndex + 1));
	return root;
};

::::

二叉查找树

::: info 定义

二叉查找树（Binary Search Tree） ：也叫二叉搜索树，在二叉查找树中，每个节点的左子树节点值都小于该节点的值，而右子树节点值都大于该节点的值。 :::

下图是几个二叉查找树的例子：

二叉查找树（BST）是二叉树中最常用的一种类型。二叉查找树最大的特点就是，支持动态数据集合的快速插入、删除、查找操作。在实际应用中常用于快速查找和有序插入的场景，具有良好的平均时间复杂度。

下面我们来看下，这些操作是如何实现的。

首先，我们需要定义二叉查找树的节点：

class TreeNode {
	constructor(value) {
		this.value = value;
		this.left = null;
		this.right = null;
	}
}

这里，TreeNode 类代表了二叉查找树中的一个节点，包括节点的值、左子树和右子树。

接下来，我们创建一个 BinarySearchTree 类，用于实现二叉查找树的基本操作：

class BinarySearchTree {
	constructor() {
		this.root = null;
	}
	// ...(各种操作方法)
}

1. 插入操作

插入操作是向二叉查找树中插入新值的过程，通常涉及递归，因为我们需要找到新节点应该放置的位置。以下是增加节点的原理：

  1. 如果树为空（即根节点为 null），则新节点将成为树的根。
  2. 如果树不为空，我们从树的根节点开始，比较新节点的值与当前节点的值。
    • 如果新节点的值小于当前节点的值，则递归地将新节点插入到当前节点的左子树中。
    • 如果新节点的值大于当前节点的值，则递归地将新节点插入到当前节点的右子树中。
    • 如果新节点的值等于当前节点的值，通常可以选择将新节点丢弃，或者将其放在左子树或右子树中，取决于具体的实现策略。
class BinarySearchTree {
	// ...（之前的代码）

	insert(value) {
		this.root = this._insert(this.root, value);
	}

	_insert(node, value) {
		if (!node) {
			return new TreeNode(value);
		}

		if (value < node.value) {
			node.left = this._insert(node.left, value);
		} else if (value > node.value) {
			node.right = this._insert(node.right, value);
		}

		return node;
	}
}

2. 查找操作

查找操作是在二叉查找树中搜索特定值的过程。它是通过递归地比较节点的值和目标值来实现的。以下是查找节点的原理：

  1. 从根节点开始，比较目标值与当前节点的值。

    • 如果目标值小于当前节点的值，则在左子树中继续查找。
    • 如果目标值大于当前节点的值，则在右子树中继续查找。
    • 如果目标值等于当前节点的值，找到了目标节点。

  2. 重复上述步骤，直到找到目标节点或达到叶子节点（节点没有左子树和右子树）为止。

class BinarySearchTree {
	// ...（之前的代码）

	search(value) {
		return this._search(this.root, value);
	}

	_search(node, value) {
		if (!node || node.value === value) {
			return node;
		}

		if (value < node.value) {
			return this._search(node.left, value);
		} else {
			return this._search(node.right, value);
		}
	}
}

这两个基本操作是二叉查找树的核心。通过递归的方式，我们能够有效地在树中进行插入和查找操作。

3. 删除操作

为了删除一个节点，我们需要分几种情况讨论：

  1. 如果节点是叶子节点（没有左子树和右子树），直接删除即可。
  2. 如果节点只有一个子节点，将该节点替换为其子节点。
  3. 如果节点有两个子节点，找到右子树中的最小值节点，用该节点的值替换要删除的节点的值，然后递归地删除右子树中的最小值节点。
class BinarySearchTree {
	// ...（之前的代码）

	delete(value) {
		this.root = this._delete(this.root, value);
	}

	_delete(node, value) {
		if (!node) {
			return null;
		}

		if (value < node.value) {
			node.left = this._delete(node.left, value);
		} else if (value > node.value) {
			node.right = this._delete(node.right, value);
		} else {
			// Node to be deleted found

			// Case 1 & 2: No child or one child
			if (!node.left) {
				return node.right;
			} else if (!node.right) {
				return node.left;
			}

			// Case 3: Two children
			const minRight = this._findMin(node.right);
			node.value = minRight.value;
			node.right = this._delete(node.right, minRight.value);
		}

		return node;
	}

	_findMin(node) {
		while (node.left) {
			node = node.left;
		}
		return node;
	}
}

4. 遍历操作

二叉查找树的遍历操作包括前序遍历、中序遍历和后序遍历，每一种遍历方式都有其特定的应用场景。

中序遍历是二叉查找树最常用的遍历方式。它按照从小到大的顺序遍历树中的节点，输出结果是有序的，时间复杂度是 O(n)，非常高效 。因此，二叉查找树也叫作二叉排序树。

class BinarySearchTree {
	// ...（之前的代码）

	inOrderTraversal(callback) {
		this._inOrderTraversal(this.root, callback);
	}

	_inOrderTraversal(node, callback) {
		if (node) {
			this._inOrderTraversal(node.left, callback);
			callback(node.value);
			this._inOrderTraversal(node.right, callback);
		}
	}
}

遍历的时间复杂度是 O(n)，其中 n 是树中节点的数量，这是因为遍历需要访问所有节点。

👉 查看代码测试 👈 
// 创建二叉查找树
const bst = new BinarySearchTree();

// 插入节点
bst.insert(5);
bst.insert(3);
bst.insert(7);
bst.insert(2);
bst.insert(4);
bst.insert(6);
bst.insert(8);

// 查找节点
const searchResult = bst.search(4);
console.log(searchResult ? `Found: ${searchResult.value}` : 'Not Found');

// 中序遍历
console.log('\nIn-order traversal:');
bst.inOrderTraversal((value) => console.log(value));

// 删除节点
bst.delete(3);

// 中序遍历查看删除后的结果
console.log('\nIn-order traversal after deletion:');
bst.inOrderTraversal((value) => console.log(value));

// 运行结果：
// Found: 4

// In-order traversal:
// 2
// 4
// 5
// 6
// 7
// 8

// In-order traversal after deletion:
// 2
// 4
// 5
// 6
// 7
// 8

除了插入、删除、查找、遍历操作之外，二叉查找树还可以支持快速地查找最大节点和最小节点、前驱节点和后继节点。

复杂度分析

  • 平均情况下，二叉查找树的插入、查找和删除操作的时间复杂度是 O(log n)。
  • 最坏情况下，如果树是非平衡的，这些操作的时间复杂度会退化到 O(n)。
  • 遍历操作的时间复杂度始终为 O(n)，因为需要访问所有节点。

因此，保持二叉查找树的平衡对于维护高效性能是非常重要的。平衡二叉查找树的实现（如 AVL 树或红黑树）确保了在各种操作中都能保持较小的树高度，从而提供了可靠的性能。

平衡二叉查找树

::: info 定义

平衡二叉查找树（Balanced Binary Search Tree） ：是一种特殊的二叉查找树，其所有节点满足以下平衡性质：对于树中的每个节点，其左子树和右子树的高度差不超过 1 。 :::

在非平衡的二叉查找树中，最坏情况下可能会导致树的高度接近线性，使得查找、插入和删除等操作的时间复杂度变为 O(n) 。而平衡二叉查找树能够保持较小的高度，确保这些操作的平均时间复杂度保持在 O(log n) 水平，提高了性能。

通过自动保持树的平衡性，确保在各种操作中具有较低的时间复杂度。常见的平衡二叉查找树实现包括 AVL 树和红黑树。

学习 AVL 树和红黑树的关键在于理解它们的平衡性质、平衡因子以及插入、删除等操作时的调整策略。

AVL 树

AVL 树是一种自平衡二叉查找树，由两位前苏联的数学家 Adelson-Velsky 和 Landis 在 1962 年提出。AVL 树通过在每次插入或删除操作后进行旋转操作，保持了树的平衡性。

平衡因子

在 AVL 树中，每个节点都有一个平衡因子（Balance Factor），定义为其左子树的高度减去右子树的高度。平衡因子的值只能是 -1、0 或 1。平衡因子的目标是保持所有节点的平衡因子在这个范围内。通过旋转操作，AVL 树确保所有节点的平衡因子在这个范围内，从而保持平衡。

插入操作

在插入新节点时，需要逐级更新从插入点到树根的所有节点的平衡因子，并检查是否破坏了 AVL 树的平衡性。如果发现某个节点的平衡因子超出了范围，就需要通过旋转操作来修复。

旋转操作

AVL 树通过四种基本的旋转操作来维护平衡：

  1. 左旋（Left Rotation）： 将一个节点的右子树提升为新的根，原根成为新根的左子树。
  2. 右旋（Right Rotation）： 将一个节点的左子树提升为新的根，原根成为新根的右子树。
  3. 左-右旋转（Left-Right Rotation）： 先对左子树进行左旋，然后再对根节点进行右旋。
  4. 右-左旋转（Right-Left Rotation）： 先对右子树进行右旋，然后再对根节点进行左旋。

通过这些旋转操作，AVL 树能够在插入节点后保持平衡。

红黑树

红黑树（Red-Black Tree）简称 R-B Tree，是另一种自平衡二叉查找树，它引入了颜色标记来确保平衡性，每个节点都被标记为红色或黑色。红黑树的平衡性质主要通过以下几点来维护：

  1. 根节点是黑色的。
  2. 所有叶子节点（NIL 节点）都是黑色的。
  3. 如果一个节点是红色的，则它的两个子节点都是黑色的。
  4. 从任意节点到其每个叶子的路径都包含相同数量的黑色节点。

插入操作

在红黑树中，插入节点时，首先按照二叉查找树的方式插入节点，然后通过一系列的颜色调整和旋转来保持红黑树的性质。

旋转操作

红黑树的旋转操作包括左旋和右旋，与 AVL 树相似。旋转操作的目的是通过重新组织树的结构来保持平衡性。

红黑树相对于 AVL 树的优势在于，由于不需要保持严格的平衡，红黑树的旋转操作较少，插入和删除节点时的性能更为稳定。

红黑树的高度近似 2log n，所以它是近似平衡，插入、删除、查找操作的时间复杂度都是 O(log n)。

线段树

::: info 定义

线段树（Segment Tree） ：是一种解决范围查询问题的数据结构，主要用于处理数组中的子区间问题，如范围和、最小值、最大值等。 :::

线段树是一种高效的数据结构，特别适用于需要频繁进行范围查询操作的场景。

构建线段树

线段树的节点通常包含以下信息：

  • start：表示节点对应区间的起始位置。
  • end：表示节点对应区间的结束位置。
  • sum、min、max 等：表示节点对应区间的信息。

以下是一个简单的线段树节点的 JavaScript 实现：

class SegmentTreeNode {
	constructor(start, end) {
		this.start = start;
		this.end = end;
		this.sum = 0; // 例如，表示区间和
		this.left = null;
		this.right = null;
	}
}

构建线段树的过程涉及将数组划分为不同的区间，并在每个节点上存储对应区间的信息。

线段树通常被构造为满二叉树，它的高度是对数级别的，从而使得范围查询的时间复杂度保持在 O(log n) 的水平，其中 n 是待处理区间的长度。

function buildSegmentTree(nums, start, end) {
	if (start === end) {
		return new SegmentTreeNode(start, end);
	}

	const mid = Math.floor((start + end) / 2);
	const left = buildSegmentTree(nums, start, mid);
	const right = buildSegmentTree(nums, mid + 1, end);

	const root = new SegmentTreeNode(start, end);
	root.left = left;
	root.right = right;

	// 根据具体问题更新根节点的信息
	root.sum = left.sum + right.sum;

	return root;
}

更新操作

更新操作用于修改原始数组的值，并相应地更新线段树节点的信息。通常使用递归实现。

function update(root, index, val) {
	if (root.start === root.end) {
		root.sum = val; // 例如，表示区间和
		return;
	}

	const mid = Math.floor((root.start + root.end) / 2);
	if (index <= mid) {
		update(root.left, index, val);
	} else {
		update(root.right, index, val);
	}

	// 更新根节点的信息
	root.sum = root.left.sum + root.right.sum;
}

查询操作

查询操作用于获取数组某个范围内的信息，比如求和、最小值、最大值等。同样使用递归实现。

function query(root, queryStart, queryEnd) {
	if (root.end < queryStart || root.start > queryEnd) {
		return 0; // 例如，表示区间和
	}

	if (root.start >= queryStart && root.end <= queryEnd) {
		return root.sum; // 例如，表示区间和
	}

	const mid = Math.floor((root.start + root.end) / 2);
	const leftSum = query(root.left, queryStart, Math.min(mid, queryEnd));
	const rightSum = query(root.right, Math.max(mid + 1, queryStart), queryEnd);

	return leftSum + rightSum;
}

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📌 307. 区域和检索 - 数组可修改 - LeetCode

💻 题目大意

给定一个整数数组 nums，请你完成两类查询：

  1. 更新 数组 nums 下标对应的值
  2. 返回数组 nums 中索引 left 和 right （包含 left 和 right）之间的 nums 元素的 和 ，其中 left <= right

实现 NumArray 类：

  • NumArray(int[] nums) 使用数组 nums 初始化对象
  • void update(int index, int val) 将 nums[index] 的值 更新 为 val
  • int sumRange(int i, int j) 返回数组 nums 中索引 left 和 right 之间的元素的 总和 ，包含 left 和 right 两点（也就是 nums[left] + nums[left + 1] + ... + nums[right] ）

示例 ：

输入：

["NumArray", "sumRange", "update", "sumRange"]

[[[1, 3, 5]], [0, 2], [1, 2], [0, 2]]

输出：

[null, 9, null, 8]

解释：

NumArray numArray = new NumArray([1, 3, 5]);

numArray.sumRange(0, 2); // 返回 1 + 3 + 5 = 9

numArray.update(1, 2); // nums = [1,2,5]

numArray.sumRange(0, 2); // 返回 1 + 2 + 5 = 8

💡 解题思路

可以通过线段树来解决：

  1. 初始化： 在 NumArray 类的构造函数中，首先将输入的数组 nums 存储起来，并构建一个线段树，表示整个数组的和。每个线段树节点包含一个区间的起始位置、结束位置和该区间的和。

  2. 更新操作： 当调用 update 方法时，根据给定的索引和新的值，更新数组 nums 对应位置的值，并在线段树中更新对应的节点的值。这个更新过程是通过递归地向下更新线段树节点实现的。

  3. 区间和查询： 当调用 sumRange 方法时，需要查询数组中指定区间 [i, j] 的和。在线段树中，可以通过递归地查询左右子树来获得区间 [i, j] 的和：

    • 如果当前节点的区间完全包含在 [i, j] 中，则直接返回该节点的和。
    • 否则，根据当前节点的中点将查询区间 [i, j] 分为左右两部分，递归地查询左右子树，并将两部分的和相加。

💎 代码

class NumArray {
	// @param {number[]} nums
	constructor(nums) {
		this.nums = nums;
		this.segmentTree = this.buildSegmentTree(nums, 0, nums.length - 1);
	}
	// @param {number[]} nums
	// @param {number} start
	// @param {number} end
	buildSegmentTree(nums, start, end) {
		if (start == end) {
			return { start, end, left: null, right: null, sum: nums[start] };
		}
		const mid = Math.floor((start + end) / 2);
		const left = this.buildSegmentTree(nums, start, mid);
		const right = this.buildSegmentTree(nums, mid + 1, end);
		const sum = left.sum + right.sum;
		return { start, end, left, right, sum };
	}

	// @param {number} index
	// @param {number} val
	// @return {void}
	update(index, val) {
		this.updateSegmentTree(this.segmentTree, index, val);
	}

	updateSegmentTree(root, index, val) {
		if (root.start == root.end) {
			root.sum = val;
			return;
		}
		const mid = Math.floor((root.start + root.end) / 2);
		if (index <= mid) {
			this.updateSegmentTree(root.left, index, val);
		} else {
			this.updateSegmentTree(root.right, index, val);
		}
		root.sum =
			(root.left ? root.left.sum : 0) + (root.right ? root.right.sum : 0);
	}

	// @param {number} left
	// @param {number} right
	// @return {number}
	sumRange(left, right) {
		return this.querySegmentTree(this.segmentTree, left, right);
	}

	querySegmentTree(root, start, end) {
		if (root.start > end || root.end < start) return 0;
		if (root.start >= start && root.end <= end) return root.sum;

		const mid = Math.floor((root.start + root.end) / 2);
		const leftSum = this.querySegmentTree(root.left, start, Math.min(mid, end));
		const rightSum = this.querySegmentTree(
			root.right,
			Math.max(mid + 1, start),
			end
		);
		return leftSum + rightSum;
	}
}

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